2010-2011学年高中一年级综合能力水平测试(数学)



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姓名 考号
2010-2011 学年高中一年级综合能力水平测试 年高中一年级综合能力 中一年级综合能力水平测试
姓名 考号
数学
(时间 120 分钟,满分 150 分)

  5.定义在实数集上的偶函数 f(x),满足 f(x+
  2)=f(x),且 f(x)在[-3,-2]上单调减,又 α、β 是锐角三角形 的三个内角,则( ) A.f(sinα)>f(sinβ) B.f(cosα)<f(cosβ) C.f(sinα)>f(cosβ) D.f(sinα)<f(cosβ)

  2,x>0
  6.已知函数 f(x)= 2 ,若 f(
  0)=-
  2,f(-
  1)=
  1,则函数 g(x)=f(x)+x 的零点 -x +bx+c,x≤0
姓名 考号
班级
第Ⅰ卷(客观题
共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,请将正确的选项填涂在答题卡上.
的个数为( A.1 C.3
) B.2 D.4 )
x 1 > a 2
  1.不等式组 ,有解,则实数 a 的满足的取值范围集合是( ) x 4 < 2a
B. (-
  3,
  1) D. (-∞,-
  3) ∪ (
  1,+∞) 1 1 1
  2.若 a>
  0,b>
  0,a,b 的等差中项是 ,且 α=a+ ,β=b+ ,则 α+β 的最小值为( 2 a b A.2 C.4 两 墙的距离分别为 a m(
  0<a<
  12)、4 m,不考虑树的粗细.现在想 用 16 m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃 ABCD.设此矩形 花 则 圃的面积为 S m
  2,S 的最大值为 f(a),若将这颗树围在花圃内, 函数 u=f(a)的图象大致是( ) B.3 D.5 A. (-
  1,
  3) C. (-∞,
  1) ∪ (
  3,+∞)
2 2
  7.已知 sinx-siny=- ,cosx-cosy= ,且 x,y 为锐角,则 sin(x+y)的值是( 3 3 A.1 1 C. 3 ) B.-1 1 D. 2 , ( C. 12 ) D. 13 ,

  8. 已知 , 是两个相互垂直的单位向量, 而 的最小值是 A. 5 B. 7
。 则对于任意实数

班级

  3.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有一棵树与
  9.设 、 、 为实数, A. B. C. 且 ,则下列四个结论中正确的是 ( ) D. 且

  10.已知集合 L={(x,y)|y=2x+1},点 Pn(an,bn)∈L,P1 为 L 中元素与直线 y=1 的交点,数列{an}是公 差为 1 的等差数列。设 f(n)= n 的值为( A. 1 ) B. 2 C. 3 D. 4
a n (n为奇数) ,设存在正整数 n,使 f(n+
  11)=2f(n)成立,则 bn ( n为偶数)

  11. △ABC 中, A、 C 的对边分别记为 a、 c(b≠
  1), 在 角 B、 b、 且

都是方程 log
x=logb(4x-
  4)

  4.在平面直角坐标系 xOy 中,设 M 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 4 的点构成的区域,N 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 M 中随机投一点,则落入 N 中的概率为( ) π π A. B. 64 32 π C. 16 π D. 4
数学答题卷 第 1 页
的根,则△ABC ( ) A.是等腰三角形,但不是直角三角形 B.是直角三角形,但不是等腰三角形 C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形

  12.已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥
  1),且 a1=
  9,其前 n 项之和为 Sn。则满足不等式|Sn-n-6|< 的最小整数 n 是
数学答题卷 第 2 页


班级
班级 姓名 考号
姓名 考号
班级 姓名 考号
A.5 B.6
数学试卷 第 3 页
C.7 D.8
数学试卷 第 4 页
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2010-2011 学年高中一年级综合能力水平测试 年高中一年级综合能力 中一年级综合能力水平测试
姓名 考号
数学
第Ⅱ卷(主观题
共 90 分) 个小题, 在每小题给出横线上填上正确结果) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,在每小题给出横线上填上正确结果) 填空题( 2
  13.设函数 f(x)=mx -mx-1,对于 x∈[1,3],f(x)<0 恒成立,则 m 的取值范围.
  14.△ABC 中,角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,且 a(cosB+cosC)=b+c.若△ABC 外接 圆半径为
  1,则△ABC 周长的取值范围.
  15.已知数列{an}各项为正数,前 n 项和为 Sn,有 Sn= an=
  16.O,A,B 是平面上不共线三点,向量 一 点,向量 .若 , , ,则 ,设 P 为线段 AB 垂直平分线上任意 的值是
班级

  18. (本题满分 12 分) 设 G 是△ABC 内一点,延长 AG、BG、CD 交 BC、AC、AB 于点 D、E、F,且 AF = λ FB,
姓名 考号
BD = DC , CE = γ EA. 求证: λγ =
  1.
1 (an+
  1)(an+
  2),若 a2,a4,a9 成等比数列,则 6

  19. (本题满分 12 分) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
  17. (本题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) = m log 2 x + t 的图像经过点 A ( 4,
  1) 、点 B (16,
  3) 及点 C ( S n , n ) ,其中 Sn 为 数列 {an } 的前 n 项和, n ∈ N 。
*
班级
已知向量 m = (cos θ , sin θ ) 和 n = ( 2 sin θ , cos θ ), θ ∈ (π , 2π ) ,且 m + n = 求 cos(
θ
+ ) 的值。 2 8
π
8 2 , 5

  1)求 Sn 和 an ; (
  2)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , bn = f ( an ) 1 ,不等式 Tn ≤ bn 的解集, n ∈ N
*
数学试卷 第 5 页
数学试卷 第 6 页
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姓名 考号

  20. (本题满分 12 分)
姓名 考号
某企业年初有资金 1000 万元,如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为 50\%, 但每年年底都要扣除消费基金 x 万元, 余下基金投入再生产, 为实现经过 5 年资金达到 2000 万元 (扣除消费基金后),那么每年应扣除消费基金多少万元(精确到万元)?

  22. (本题满分 12 分)
班级
已知函数 姓名 考号
及正整数数列
.若
,且当
时,有
;
又 足: (
  1)求数列 (
  2)求数列
,
, 且 . 及 的通项公式; ;
对 任 意
恒 成 立 . 数 列

的前 项和
(
  3)证明存在
  21. (本题满分12分)
,使得
对任意
均成立.
班级
设定义在[
  0,2]上的函数 ①对于 ②对于 ,总有 ,若
满足下列条件: ,且 ,则 , ; .
证明: (
  1)

)(
  2) ;
时,
数学试卷 第 7 页
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姓名 考号
2010-2011 学年高中一年级综合能力水平测试(答题纸) 年高中一年级综合能力 中一年级综合能力水平测试 答题纸)
姓名 考号

  19.

  13.;
  14.;
  15.;
  16..
  17.
班级
姓名 考号
班级

  18.
  20.
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班级
班级 姓名 考号
姓名 考号
班级 姓名 考号

  21.
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  22.
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2010-2011 学年高中一年级综合能力水平测试 年高中一年级综合能力 中一年级综合能力水平测试
数学参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.
  1.A
  2.D
  3.C
  4.A
  5.C
  6.C
  7.A
  8.C
  9.D
  10.D
  11.B
  12.C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 1
  13.m<
  14.(4,
  2+2 2]
  15.3n-2 6 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.
  17. (本题满分 10 分) 解: (
  1) 由

  16. 8
2 m + t = 1 m = 1, . 4m + t = 3 t = 1
(n ∈ N ) ,
1分
所以 f(x)= log2x ? 1 .由条件得: n = log2Sn ? 1 . 得: S n = 2 n +1 1分
当n ≥ 2时, a n = S n S n 1 = 2 n +1 2 n = 2 n ,
当n = 1时, a n = S1 = 4 ,
2 n 当n ≥ 2, n ∈ N时 . 所以 a n = 当n = 1时 4 (
  2) 当n = 1时, b1 = T1 = 0 , 不等式成立.
2分 1分
当n ≥ 2时,
Tn = 0 +
∵ Tn bn =
bn = f(an) ? 1= n
?2,
(0 + n
  2)(n
  1) n 2 3n + 2 . = 2 2
n 2 3n + 2 n 2 5n + 6 (n
  2)(n
  3) ( n
  2) = = ≤0, 2 2 2 解得: 2 ≤ n ≤
  3. 3分 ∴ n = 2,3
1分
∵n ∈ N ,
所求不等式的解集为{1,
  2,3 }.
  18. (本题满分 12 分) 如图存在
AG = a1 AB + a 2 AC BG = b1 BC + b2 BA
A
① ② ③ ……………3 分 ④……1 分
CG = c1 CA + c 2 CB
F
G
E
又 AG = AB + BG = AB + b1 ( BA + AC) + b2 BA
B
由①④: (a 2 b1 ) AC + (a1 + b1 + b2
  1) AB = 0 ,……1 分 D C
答案 第 1 页
故 a 2 = b1 .……1 分 故 CF = 1 CA + 1 CB . ⑤ ……3 分 1+ λ 1+ λ c 2 a1 b1 c 由③、⑤及 CF, CG 共线 , 且 CA, CB 为基底,故 λ = = , = , γ = 1 , ……2 分 c1 c1 a1 b1 故 λr = 1 .……1 分
  19. (本题满分 12 分) 同理 b2 = c1 , c 2 = a1 . 又 AF = λ FB ,
m + n = (cos θ sin θ + 2, cos θ + sin θ ), m + n = (cos θ sin θ +
  2) 2 + (cos θ + sin θ ) 2
= 4 + 2 2(cos θ sin θ ) = 4 + 4 cos(θ + ) = 2 1 + cos(θ + ) ……3 分 4 4
由已知 m + n = 又 cos(θ +
π
π
8 2 π 7 ,得 cos(θ + ) = 5 4 25
新疆 王新敞
奎屯
……2 分 ……1 分 ……2 分 ……2 分 ……2 分
) = 2 cos 2 ( + ) 1 4 2 8 θ π 16 所以 cos 2 ( + ) = 2 8 25 5π θ π 9π ∵ π < θ < 2π ,∴ < + < 8 2 8 8 θ π 4 ∴ cos( + ) = 2 8 5
新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯
π
θ
π

  20.(本题满分 12 分) 解 第一年余下的基金为
3 10
  00× (
  1+50\%) -x = 10
  00× -x 2 3 令a 1 = 10
  00× -x,第二年余下的基金为 2
2
……2 分
3 3 3 (10
  00× -x) (
  1+50\%) -x = 10
  00× 1 + x 2 2 2 3 3 即a 2 = 10
  00× 1 + x 2 2
依此类推,得
2
……2 分
答案 第 2 页
3 3 3 2 3 a 3 = 10
  00× 1 + + x 2 2 2 4 3 3 2 3 3 3 a 4 = 10
  00× 1 + + + x 2 2 2 2
……2 分
5 3 3 2 3 3 3 4 3 a 5 = 10
  00× 1 + + + + x ……1 分 2 2 2 2 2
为了经过 5 年使资金达到 2000 万元,令 a5=2000 于是得关于消费基金 x 的方程:
5 3 3 2 3 3 3 4 3 10
  00× 1 + + + + x = 2000 2 2 2 2 2
……2 分
解这个方程,得
3 1 5 2 3 x = 10
  00× - 2000 3 2 1 2 35 243 2 4 2 x = 10
  00× 32 2
211 179 x = 10
  00× 16 32 16 179 ∴ x = 10
  00× × 211 32
x≈424 答:每年约扣除消费基金 424 万元
  21. (本小题满分 12 分) 由 ,则 设 ∵ , ∴ 在[
  0,1]上是不减函数.………………………………4分 ,且 ,则 知,函数 图像关于直线
5
……2 分
……1 分
对称,则根据②可知:对于
,若
.…………2分 .
答案 第 3 页

  1)∵
,

.………………………………………………8分

  2)对于任意
,则必存在正整数 ,使得
.
因为
在(
  0,
  1)上是不减函数,所以

由(
  1)知 由①可得 ,在②中,令 ,得
. ,∴ .
而 ∴ ∵ 因此,
,∴ 时, 时, 时,
,又
,∴

..……………………………10分 ,且 ,∴ .…………………….12分 ,

  22. (本小题满分 12 分)
(
  1)由 等比数列. 又, 因为
得: ,所以 ,所以 . ,于是:
.因为
是正整数列,所以 ……………………2分 ,说明
.于是

是以2为公
比的等比数列.所以
因为 又因为 且 ,所以 。
,由题设知:
,解得:

答案 第 4 页
于是 (
  2) 由
。 得:
……………………2分 .由 及 得:

① ②

时,①式减去②式,得
于是,
……………………2分
这时数列 当 时,
的前 项和 .这时数列 的前 项和
. . ……………………2分
(
  3)证明:通过分析,推测数列
的第一项
最大,下面证明:
③ 由 因为 . 所以③式成立. ……………………2分 知 ,要使③式成立,只要 ,
因此,存在
,使得
对任意
均成立.
……………………2分
答案 第 5 页
 

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