2010-2011学年高中一年级综合能力水平测试(数学)
班级
姓名 考号
2010-2011 学年高中一年级综合能力水平测试 年高中一年级综合能力 中一年级综合能力水平测试
姓名 考号
数学
（时间 120 分钟，满分 150 分）
5．定义在实数集上的偶函数 f(x),满足 f(x+
2)=f(x),且 f(x)在[-3,-2]上单调减，又 α、β 是锐角三角形 的三个内角，则（ ） A．f(sinα)>f(sinβ) B．f(cosα)<f(cosβ) C．f(sinα)>f(cosβ) D．f(sinα)<f(cosβ)
－
2，x＞0
6．已知函数 f(x)＝ 2 ，若 f(
0)＝－
2，f(－
1)＝
1，则函数 g(x)＝f(x)＋x 的零点 －x ＋bx＋c，x≤0
姓名 考号
班级
第Ⅰ卷（客观题
共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上．
的个数为( A．1 C．3
) B．2 D．4 )
x 1 > a 2
1．不等式组 ，有解，则实数 a 的满足的取值范围集合是（ ） x 4 < 2a
B． （-
3，
1） D． （-∞，-
3） ∪ （
1，＋∞） 1 1 1
2．若 a>
0，b>
0，a，b 的等差中项是 ，且 α＝a＋ ，β＝b＋ ，则 α＋β 的最小值为( 2 a b A．2 C．4 两 墙的距离分别为 a m(
0＜a＜
12)、4 m，不考虑树的粗细．现在想 用 16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃 ABCD.设此矩形 花 则 圃的面积为 S m
2，S 的最大值为 f(a)，若将这颗树围在花圃内， 函数 u＝f(a)的图象大致是( ) B．3 D．5 A． （-
1，
3） C． （-∞，
1） ∪ （
3，＋∞）
2 2
7．已知 sinx－siny＝－ ，cosx－cosy＝ ，且 x，y 为锐角，则 sin(x＋y)的值是( 3 3 A．1 1 C． 3 ) B．－1 1 D． 2 ， （ C． 12 ） D． 13 ，
8． 已知 ， 是两个相互垂直的单位向量， 而 的最小值是 A． 5 B． 7
。 则对于任意实数
，
班级
3．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在 P 处有一棵树与
9．设 、 、 为实数， A． B． C． 且 ，则下列四个结论中正确的是 （ ） D． 且
10.已知集合 L={(x,y)|y=2x+1},点 Pn(an,bn)∈L,P1 为 L 中元素与直线 y=1 的交点，数列{an}是公 差为 1 的等差数列。设 f(n)= n 的值为（ A． 1 ） B． 2 C． 3 D． 4
a n (n为奇数） ，设存在正整数 n,使 f(n+
11)=2f(n)成立，则 bn ( n为偶数）
11． △ABC 中， A、 C 的对边分别记为 a、 c(b≠
1)， 在 角 B、 b、 且
，
都是方程 log
x=logb(4x-
4)
4．在平面直角坐标系 xOy 中，设 M 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 4 的点构成的区域，N 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 M 中随机投一点，则落入 N 中的概率为( ) π π A． B． 64 32 π C． 16 π D． 4
数学答题卷 第 1 页
的根，则△ABC （ ） A．是等腰三角形，但不是直角三角形 B．是直角三角形，但不是等腰三角形 C．是等腰直角三角形 D．不是等腰三角形，也不是直角三角形
12．已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥
1)，且 a1=
9，其前 n 项之和为 Sn。则满足不等式|Sn-n-6|< 的最小整数 n 是
数学答题卷 第 2 页
（
）
班级
班级 姓名 考号
姓名 考号
班级 姓名 考号
A．5 B．6
数学试卷 第 3 页
C．7 D．8
数学试卷 第 4 页
班级
姓名 考号
2010-2011 学年高中一年级综合能力水平测试 年高中一年级综合能力 中一年级综合能力水平测试
姓名 考号
数学
第Ⅱ卷（主观题
共 90 分） 个小题， 在每小题给出横线上填上正确结果） 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出横线上填上正确结果） 填空题（ 2
13．设函数 f(x)＝mx －mx－1,对于 x∈[1,3]，f(x)<0 恒成立，则 m 的取值范围．
14．△ABC 中，角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b，c，且 a(cosB＋cosC)＝b＋c.若△ABC 外接 圆半径为
1，则△ABC 周长的取值范围．
15．已知数列{an}各项为正数，前 n 项和为 Sn,有 Sn= an=
16.O,A,B 是平面上不共线三点，向量 一 点，向量 ．若 ， ， ，则 ，设 P 为线段 AB 垂直平分线上任意 的值是
班级
18． （本题满分 12 分） 设 G 是△ABC 内一点，延长 AG、BG、CD 交 BC、AC、AB 于点 D、E、F，且 AF = λ FB,
姓名 考号
BD = DC , CE = γ EA. 求证： λγ =
1.
1 (an+
1)(an+
2),若 a2,a4,a9 成等比数列，则 6
19． （本题满分 12 分） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17． （本题满分 10 分） 已知函数 f ( x ) = m log 2 x + t 的图像经过点 A ( 4,
1) 、点 B (16,
3) 及点 C ( S n , n ) ,其中 Sn 为 数列 {an } 的前 n 项和， n ∈ N 。
*
班级
已知向量 m = (cos θ , sin θ ) 和 n = ( 2 sin θ , cos θ ), θ ∈ (π , 2π ) ，且 m + n = 求 cos(
θ
+ ) 的值。 2 8
π
8 2 ， 5
（
1）求 Sn 和 an ； （
2）设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ， bn = f ( an ) 1 ，不等式 Tn ≤ bn 的解集， n ∈ N
*
数学试卷 第 5 页
数学试卷 第 6 页
班级
姓名 考号
20． （本题满分 12 分）
姓名 考号
某企业年初有资金 1000 万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为 50\%， 但每年年底都要扣除消费基金 x 万元， 余下基金投入再生产， 为实现经过 5 年资金达到 2000 万元 (扣除消费基金后)，那么每年应扣除消费基金多少万元(精确到万元)？
22． （本题满分 12 分）
班级
已知函数 姓名 考号
及正整数数列
.若
,且当
时,有
;
又 足: (
1)求数列 (
2)求数列
,
, 且 . 及 的通项公式; ；
对 任 意
恒 成 立 . 数 列
满
的前 项和
(
3)证明存在
21． （本题满分12分）
，使得
对任意
均成立．
班级
设定义在[
0，2]上的函数 ①对于 ②对于 ，总有 ，若
满足下列条件： ，且 ，则 ， ； ．
证明： （
1）
（
）（
2） ；
时，
数学试卷 第 7 页
数学试卷 第 8 页
班级
姓名 考号
2010-2011 学年高中一年级综合能力水平测试（答题纸） 年高中一年级综合能力 中一年级综合能力水平测试 答题纸）
姓名 考号
19．
13．；
14．；
15．；
16．．
17．
班级
姓名 考号
班级
18．
20．
数学答题卷 第 1 页
数学答题卷 第 2 页
班级
班级 姓名 考号
姓名 考号
班级 姓名 考号
21．
数学试卷 第 3 页
22．
数学试卷 第 4 页
2010-2011 学年高中一年级综合能力水平测试 年高中一年级综合能力 中一年级综合能力水平测试
数学参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
1．A
2．D
3．C
4．A
5．C
6．C
7．A
8．C
9．D
10．D
11．B
12．C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 1
13．m<
14．(4,
2＋2 2]
15．3n-2 6 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．
17． （本题满分 10 分） 解： （
1） 由
16． 8
2 m + t = 1 m = 1, . 4m + t = 3 t = 1
(n ∈ N ) ,
1分
所以 f(x)= log2x ? 1 .由条件得: n = log2Sn ? 1 . 得: S n = 2 n +1 1分
当n ≥ 2时, a n = S n S n 1 = 2 n +1 2 n = 2 n ,
当n = 1时, a n = S1 = 4 ,
2 n 当n ≥ 2, n ∈ N时 . 所以 a n = 当n = 1时 4 （
2） 当n = 1时, b1 = T1 = 0 , 不等式成立.
2分 1分
当n ≥ 2时,
Tn = 0 +
∵ Tn bn =
bn = f(an) ? 1= n
?2,
(0 + n
2)(n
1) n 2 3n + 2 . = 2 2
n 2 3n + 2 n 2 5n + 6 (n
2)(n
3) ( n
2) = = ≤0, 2 2 2 解得: 2 ≤ n ≤
3. 3分 ∴ n = 2,3
1分
∵n ∈ N ,
所求不等式的解集为{1,
2，3 }.
18． （本题满分 12 分） 如图存在
AG = a1 AB + a 2 AC BG = b1 BC + b2 BA
A
① ② ③ ……………3 分 ④……1 分
CG = c1 CA + c 2 CB
F
G
E
又 AG = AB + BG = AB + b1 ( BA + AC) + b2 BA
B
由①④： (a 2 b1 ) AC + (a1 + b1 + b2
1) AB = 0 ，……1 分 D C
答案 第 1 页
故 a 2 = b1 ．……1 分 故 CF = 1 CA + 1 CB ． ⑤ ……3 分 1+ λ 1+ λ c 2 a1 b1 c 由③、⑤及 CF, CG 共线 ， 且 CA, CB 为基底，故 λ = = , = , γ = 1 ， ……2 分 c1 c1 a1 b1 故 λr = 1 .……1 分
19． （本题满分 12 分） 同理 b2 = c1 ， c 2 = a1 ． 又 AF = λ FB ，
m + n = (cos θ sin θ + 2, cos θ + sin θ ), m + n = (cos θ sin θ +
2) 2 + (cos θ + sin θ ) 2
= 4 + 2 2(cos θ sin θ ) = 4 + 4 cos(θ + ) = 2 1 + cos(θ + ) ……3 分 4 4
由已知 m + n = 又 cos(θ +
π
π
8 2 π 7 ，得 cos(θ + ) = 5 4 25
新疆 王新敞
奎屯
……2 分 ……1 分 ……2 分 ……2 分 ……2 分
) = 2 cos 2 ( + ) 1 4 2 8 θ π 16 所以 cos 2 ( + ) = 2 8 25 5π θ π 9π ∵ π < θ < 2π ,∴ < + < 8 2 8 8 θ π 4 ∴ cos( + ) = 2 8 5
新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯
π
θ
π
20．（本题满分 12 分） 解 第一年余下的基金为
3 10
00× (
1＋50\%) －x = 10
00× －x 2 3 令a 1 = 10
00× －x，第二年余下的基金为 2
2
……2 分
3 3 3 (10
00× －x) (
1＋50\%) －x = 10
00× 1 + x 2 2 2 3 3 即a 2 = 10
00× 1 + x 2 2
依此类推，得
2
……2 分
答案 第 2 页
3 3 3 2 3 a 3 = 10
00× 1 + + x 2 2 2 4 3 3 2 3 3 3 a 4 = 10
00× 1 + + + x 2 2 2 2
……2 分
5 3 3 2 3 3 3 4 3 a 5 = 10
00× 1 + + + + x ……1 分 2 2 2 2 2
为了经过 5 年使资金达到 2000 万元，令 a5=2000 于是得关于消费基金 x 的方程：
5 3 3 2 3 3 3 4 3 10
00× 1 + + + + x = 2000 2 2 2 2 2
……2 分
解这个方程，得
3 1 5 2 3 x = 10
00× － 2000 3 2 1 2 35 243 2 4 2 x = 10
00× 32 2
211 179 x = 10
00× 16 32 16 179 ∴ x = 10
00× × 211 32
x≈424 答：每年约扣除消费基金 424 万元
21． （本小题满分 12 分） 由 ，则 设 ∵ , ∴ 在[
0，1]上是不减函数．………………………………4分 ，且 ，则 知，函数 图像关于直线
5
……2 分
……1 分
对称，则根据②可知：对于
，若
．…………2分 ．
答案 第 3 页
（
1）∵
,
∴
．………………………………………………8分
（
2）对于任意
，则必存在正整数 ，使得
.
因为
在（
0，
1）上是不减函数，所以
，
由（
1）知 由①可得 ，在②中，令 ，得
. ，∴ ．
而 ∴ ∵ 因此，
，∴ 时， 时， 时，
，又
，∴
，
．.……………………………10分 ，且 ，∴ ．…………………….12分 ，
22． （本小题满分 12 分）
(
1)由 等比数列. 又, 因为
得： ,所以 ,所以 . ,于是:
.因为
是正整数列,所以 ……………………2分 ,说明
.于是
是
是以2为公
比的等比数列.所以
因为 又因为 且 ，所以 。
,由题设知：
，解得：
。
答案 第 4 页
于是 (
2) 由
。 得：
……………………2分 .由 及 得：
设
① ②
当
时，①式减去②式,得
于是,
……………………2分
这时数列 当 时，
的前 项和 ．这时数列 的前 项和
． ． ……………………2分
(
3)证明：通过分析，推测数列
的第一项
最大，下面证明：
③ 由 因为 ． 所以③式成立． ……………………2分 知 ，要使③式成立，只要 ，
因此，存在
，使得
对任意
均成立．
……………………2分
答案 第 5 页