2011年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学卷(辽宁.文)含答案



2011 年普通高等学校招生全国统一模拟考试(辽宁卷) 数学(文史类)
一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 (
  1)已知集合 M=?x|-
  3<x ≤ 5?,N=?x|x<-5 或 x>5?,则 M U N= (A) ?x|x<-5 或 x>-3? (C) ?x|-
  3<x<5? (
  2)已知复数 z = 1 ? 2i ,那么 (B) ?x|-
  5<x<5? (D) ?x|x<-3 或 x>5?
1 = z
(A)
5 2 5 + i 5 5
(B)
5 2 5 ? i 5 5
(C)
1 2 + i 5 5
(D)
1 2 ? i 5 5
(
  3)已知 {an } 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= (A)-2 (B)-
1 2
(C)
0
1 2
(D)2

  4)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a=(2,
  0), | b |=
  1,则 | a+2b |= (A) 3 (B)2 3 (C)4 (D)12
0

  5)如果把地球看成一个球体,则地球上的北纬 60 纬线长和赤道长的比值为 (A)
  0.8 (B)
  0.75 (C)
  0.5 (D)
  0.25
(
  6) 已知函数 f ( x ) 满足:x ≥ 4,则 f ( x ) = ( ) ;当 x<4 时 f ( x ) = f ( x +
  1) ,则 f (2 + log 2
  3) =
x
1 2
(A)
1 24
(B)
1 12
(C)
1 8
(D)
3 8
(
  7) 已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 (A) ( x +
  1) 2 + ( y ?
  1) 2 = 2 (C) (B) ( x ?
  1) 2 + ( y +
  1) 2 = 2 (D) ( x +
  1) 2 + ( y +
  1) 2 = 2
2
( x ?
  1) 2 + ( y ?
  1) 2 = 2
2

  8)已知 tan θ = 2 ,则 sin θ + sin θ cos θ ? 2 cos θ = (A) ?
4 3
(B)
5 4
(C) ?
3 4
(D)
4 5

  9)ABCD 为长方形,AB=
  2,BC=
  1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的
点到 O 的距离大于 1 的概率为 (A)
π
4
(B) 1 ?
π
4
(C)
π
8
(D) 1 ?
π
w.w.w.k.s.
  5.u. c.o. m
8

  10)某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据 a1 , a2 ,。 aN ,其中收入记为 。。 正数,支出记为负数。该店用右边的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利 V,那么在图中空白 的判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的 (A)A>0,V=S-T (B) (C) A<0,V=S-T A>0, V=S+T
(D)A<0, V=S+T(
  11)下列 4 个命题
1 1 p1 : ?x ∈ (0, +∞), ( ) x < ( ) x 2 3 p2 : ?x ∈ (0,
  1), ? 1/2x>? 1/3x
1 p3 : ?x ∈ (0, +∞), ( ) x > ? 1/2x 2 1 1 p4 : ?x ∈ (0, ), ( ) x < ? 1/3x 3 2
其中的真命题是
w.w.w.k.s.
  5.u.c. o. m
(A) p1 , p3
( B) p1 , p4
(C) p2 , p3
(D) p2 , p4

  12)已知偶函数 f ( x ) 在区间 [ 0, +∞) 单调增加,则满足 f (2 x ?
  1) < f ( ) 的 x 取值范围是 (A) (
1 2 , ) 3 3
(B) [
1 2 , ) 3 3
(C)(
1 2 , ) 2 3
1 3 1 2 (D) [ , ) 2 3
2009 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数学(文科类) 第 II 卷 二-填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (
  13) 在平面直角坐标系 xoy 中, 四边形 ABCD 的边 AB//DC,AD//BC,已知点 A(-
  2, B
  0), (
  6, ,
  8) C(8,
  6),则 D 点的坐标为. (
  14)已知函数 f ( x ) = sin(ω x + ? )(ω >
  0) 的图象如图所示, 则ω = (
  15)若函数 f ( x) =
w.w.w.k.s.
  5.u. c.o. m
x2 + a 在 x = 1 处取极值,则 a = x +1

  16)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m) 。
则该几何体的体积为
m3
小题, 解答应用写出文字说明,证明过程或演算步骤。 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应用写出文字说明,证明过程或演算步骤。 解答题: (本小题满分 (
  17) 本小题满分 10 分) ) ( 等比数列{ an }的前 n 项和为 sn ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (
  1)求{ an }的公比 q; (
  2)求 a1 - a3 =
  3,求 sn
w.w.w.k.s .
  5.u. c.o.m
(本小题满分 (
  18) 本小题满分 12 分) ) ( 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船 于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均 为 60 ,AC=
  0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点距离相等,然后求 B,D 的距离(计 算结果精确到
  0.01km, 2 ≈
  1.4
  14, 6 ≈
  2.4
  49)
0 0 0
w.w.w.k.s.
  5.u. c. o.m
(本小题满分 (
  19) 本小题满分 12 分) ) ( 如图,已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内,M,N 分别为 AB,DF 的中点。 (I)若 CD=
  2,平面 ABCD ⊥平面 DCEF,求直线 MN 的长; (II)用反证法证明:直线 ME 与 BN 是两条异面直线。
w.w.w.k.s.
  5.u.c. o.m

  20) (本小题满分 12 分) 某企业有两个分厂生产某种零件, 按规定内径尺寸 (单位: mm) 的值落在 (
  29.
  94,
  30.
  06) 的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出 500 件,量其内径尺寸,的结果如 下表: 甲厂

  1) 试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率; (
  2) 由于以上统计数据填下面 2 × 2 列联表,并问是否有 99\%的把握认为“两个分厂生产的 零件的质量有差异” 。 甲 厂 优质品 非优质品 合计 附: x =
2
乙 厂
合计
n(n11n22 ? n12 n21 )2 p ( x 2 ≥ k )
  0.05
  0.01 , n1+ n2 + n+1n+2 k
  3.841
  6.635
w.w.w.k.s.
  5.u. c.o. m

  21) (本小题满分 12 分) 设 f ( x) = e ( ax + x +
  1) ,且曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行。
x 2
(I) (II)
求 a 的值,并讨论 f(x)的单调性; 证明:当 θ ∈ [0,
π
2
]时, cos θ ) ? f(sinθ ) < 2 f(
w.w.w.k.s.
  5.u. c.o. m

  22) (本小题满分 12 分) 已知,椭圆 C 以过点 A(
  1, (
  1) 求椭圆 C 的方程; (
  2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。
w.w.w.k.s.
  5.u.c. o.m
3 ) ,两个焦点为(-
  1,
  0) (
  1,
  0) 。 2
辽宁文数学答案
一、选择题 (
  1)A (
  7)B 二、填空题 (
  13) (
  0,-
  2) 三、解答题 (
  17)解: (Ⅰ)依题意有
w.w.w.k.s.
  5.u .c. o.m

  2)C (
  8)D

  3)B (
  9)B

  4)B (
  10)C

  5)C (
  11)D

  6)A (
  12)A

  14)
3 2

  15)3

  16)4
a1 + (a1 + a1 q ) = 2(a1 + a1 q + a1 q 2 )
由于 a1 ≠ 0 ,故
2q 2 + q = 0
1 2 1 2 (Ⅱ)由已知可得 a1 ? a1 ? ) = 3 ( 2
又 q ≠ 0 ,从而 q = - 故 a1 = 4 5分
1 n
  41( ( ? ? )) 8 1 n 2 从而 S n = = (1 ? ? )) ( 1 3 2 1? ? ) ( 2

  18)解: 在 ?ACD 中, ∠DAC =
  30°, ∠ADC =
  60°- ∠DAC =
  30°, 所以 CD=AC=
  0.1 又 ∠BCD =1
  80°-
  60°-
  60°=
  60°, 故 CB 是 ?CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA 在 ?ABC 中, 5分
10 分
AB AC = , sin∠BCA sin∠ABC
w.w.w.k.s.
  5.u. c.o. m
即 AB=
AC sin
  60° 3 2 + 6 = sin
  15° 20
因此, BD =
3 2+ 6 ≈
  0.33km 20
12 分
故 B、D 的距离约为
  0.33km。 (
  19)解 (Ⅰ)取 CD 的中点 G 连结 MG,NG. 因为 ABCD,DCEF 为正方形,且边长为
  2, 所以 MG⊥CD,MG=
  2, NG = 因为平面 ABCD⊥平面 DCEF, 所以 MG⊥平面 DCEF,可得 MG⊥NG. 所以 MN =

  2.
MG 2 + NG 2 = 6
……6 分 …..8 分
(Ⅱ)假设直线 ME 与 BN 共面, 则 AB ? 平面 MBEN,且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN, 由已知,两正方形不共面,故 AB ? 平面 DCEF.
又 AB∥CD,所以 AB∥平面 DCEF.而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线, 所以 AB∥EN. 又 AB∥CD∥EF, 所以 EN∥EF,这与 EN ∩ EF=E 矛盾,故假设不成立。 所以 ME 与 BN 不共面,它们是异面直线。 (
  20)解: ( Ⅰ ) 甲 厂 抽 查 的 产 品 中 有 360 件 优 质 品 , 从 而 甲 厂 生 产 的 零 件 的 优 质 品 率 估 计 为
w.w.w.k.s.
  5.u.c. o.m
……..12 分
360 = 72\% ; 500
……6 分
乙厂抽查的产品中有 320 件优质品,从而乙厂生产的零件的优质品率估计为 (Ⅱ) 甲厂 优质品 非优质品 合计 360 140 500 乙厂 320 180 500
320 = 64\% 500
合计 680 320 1000 ……8 分
x2 =
1000 × (360 ×180 ? 320 × 1
  40) 2 500 × 500 × 680 × 320 ≈
  7.35 >
  6.635,
w.w.w.k.s.
  5.u. c.o. m
所以有 99\%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异” 。 (
  21)解: (Ⅰ) f '( x) = e x ( ax 2 + x + 1 + 2ax +
  1) .有条件知,
……12 分
f '(
  1) = 0 ,故 a + 3 + 2a = 0 ? a = ?1 .
于是 f '( x ) = e x ( ? x 2 ? x +
  2) = ?e x ( x +
  2)( x +
  1) . 故当 x ∈ ( ?∞, ?
  2) ∪ (1, +∞) 时, f '( x ) <
  0; 当 x ∈ ( ?2,
  1) 时, f '( x ) >
  0. 从而 f ( x ) 在 ( ?∞, ?
  2) , (1, +∞) 单调减少,在 ( ?2,
  1) 单调增加.
w.w.w.k.s.
  5.u. c.o.m
………2 分
………6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) 在 [0,1] 单调增加,故 f ( x ) 在 [0,1] 的最大值为 f (
  1) = e , 最小值为 f (
  0) = 1 .
w.w.w.k.s.
  5.u. c.o. m
从而对任意 x1 , x2 ∈ [0,1] ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ e ? 1 < 2 . 而当 θ ∈ [0, 从而
………10 分
π
2
] 时, cos θ ,sin θ ∈ [0,1] .
………12 分
f (cos θ ) ? f (sin θ ) < 2
x2 y2 (
  22)解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为 + =
  1。 1 + b 2 4b 2
因为 A 在椭圆上,所以
w.w.w.k.s.5 .u. c.o. m
1 9 3 + 2 = 1 ,解得 b 2 =
  3, b 2 = ? (舍去) 。 2 1 + b 4b 4
... 分 ...4
所以椭圆方程为
x2 y 2 + =
  1. 4 3 3 x2 y 2 ,代入 + = 1得 2 4 3
(Ⅱ)设直线AE方程:得 y = k ( x ?
  1) +
w.w.w.k.s.
  5.u .c. o.m
3 (3+4k
  2)x 2 +4k (3 ? 2k ) x + 4( ? k ) 2 ? 12 = 0 2
,F( xF , y F ) .因为点A(
  1, 设E( xE , yE )
3 )在椭圆上,所以 2
3 4( ? k ) 2 ? 12 xE = 2 , 3 + 4k 2 3 yE = kxE + ? k 。 2
w.w.w.k.s.
  5. u.c. o.m
....8 分 ...
又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以 ? k 代 k ,可得
3 4( + k ) 2 ? 12 xF = 2 , 3 + 4k 2 3 yF = ? kxF + + k 。 2
w.w.w.k.s.
  5. u.c. o.m
所以直线 EF 的斜率 k EF =
y F ? y E ? k ( xF + xE ) + 2 k 1 = = 。 xF ? xE xF ? xE 2 1 。 2
....12 分 ...
即直线 EF 的斜率为定值,其值为
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  我的理想 理想是石,敲出星星之火; 理想是火,点燃熄灭的灯; 理想是灯,照亮夜行的 路; 理想是路,引你走到黎明……读着流沙河的《理想》,我的眼前出现这样 一幅景象:我用手中的笔描绘着祖国壮丽的山河,记录着生活中发生的事;我用 双眼观察世界,用大脑想象。没错,我的理想是当一名作家。 列夫 托尔斯泰曾说过一句话“理想是指路明灯。没有理想,就没有坚定的方向。” 在以前,我对自己的理想是一片茫然,学这个没心思,学哪个不专心,从来都是 心不在焉,如今我定下了我的理想,我就要努力朝我的目标奔去。有这个理想 ...

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  出乎你的意料四则经典的QQ绝密技巧首先,我们要将自己原来的号和新号重新登陆一遍,然后在以旧QQ号命名的文件夹中找到user.db数据库文件,然后复制它,接着再到新号的文件夹里粘贴覆盖原文件,然后再登陆新号,你会发现,好友都在上面了,不过他们是永远不会上线的。先不要着急,接下来就是我们最关键的一步了,打开好友管理器,在好友列表里选中自己想要加的人,选择多人的话要按着ctrl键, 选好后再把刚才选中的好友全拉到陌生人一栏里,看到这里,您可能要问,为什么要删除他们啊?因为这是让他们复活的关键一步,在跳 ...