802§23.1 一元二次方程(初中三年级数学)
一. 本周教学内容：
23.1
一元二次方程
二. 重点、难点：
1. 重点： （
1）经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数 学模型； （
2）理解一元二次方程的概念和它的一般形式。
2. 难点： 会根据实际问题列一元二次方程。 三. 知识梳理：
1. 一元二次方程的概念：只含一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做 一元二次方程。 说明：一元二次方程满足的条件： （
1）是整式方程，即方程两边都是关于未知数的整式； （
2）只含有一个未知数； （
3）未知数的最高次数是 2 次； （
4）经过整理后，能写成 ax 2 + bx + c = 0( a ≠
0) 的形式。
2. 一元二次方程的一般形式是：ax + bx + c = 0 (a、b、c 是已知数，a≠
0)，它的特征是：
2
等式左边是一个关于未知数的二次三项式，右边是零，其中 ax 叫做二次项，a 叫做二次项 系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 说明： 是一元二次方程； （
1）形如 ax + bx + c = 0 的方程不一定是一元二次方程.当 a≠0 时， 当 a=
0，且 b≠0 时，是一元一次方程。 （
2）写二次项系数、一次项系数、常数项时，要先将方程化成一般形式再写.写各项系 数时，一定要带着前面的符号。
3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程 的解，或叫做一元二次方程的根。 说明：要判断一个值是否是一元二次方程的解，只要将这个值代入一元二次方程，看看 方程左右两边是否相等即可.相等，则是方程的解；反之，则不是。
4. 根据实际问题的情景，构建一元二次方程模型 （
1）把实际问题抽象成数学问题，关键是能够运用所学的数量关系，列出方程； （
2）列方程的关键是寻找题目中的数量关系，再用含有未知数的代数式表示这种数量 关系。
2
2
【典型例题】 典型例题】
例
1. 判断下列方程是不是一元二次方程。 ① ④ ⑦
2 =
3； x +5
2
②
x2 5x = 0 ；
③ x 2 2 xy 3 = 0 ； ⑥
x + x+5 =
0；
1 = 2x ； x +1
2
⑤ 2 x ( x
3) = 2 x 2 + 1 ； ⑧ abx + (a + b) x + 1 = 0 ；
2
1 + 3x = x 3 ； x
2
⑨x
3 3x + 4 = 0 ；
⑩
px 2 + qx + m = 0 （p、q、m 是常数，p≠
0） 。
分析： 分析：方程①⑥⑦的左边是分式，不是整式方程，故不是一元二次方程；方程③中含有 两个未知数，不是一元二次方程；方程④的左边不是整式，故不是一元二次方程；方程⑤经 过整理后，得－6x=
1，不是一元二次方程；方程⑧中，未明确 ab≠
0，它不是一元二次方程。 解：上述方程中只有方程②⑨⑩是一元二次方程 点拨： 一元二次方程满足的条件： （
1） 是整式方程， 即方程两边都是关于未知数的整式； 点拨： （
2）只含有一个未知数； （
3）未知数的最高次数是 2 次； （
4）经过整理后，能写成 2 ax + bx + c = 0(a ≠
0) 的形式。 例
2. 把下列方程化为一般形式，并求出它们的二次项、一次项、二次项系数、一次项系 数、常数项。 （
1） 1 x = 5 x （
2） 3x( x
1) = 2( x +
2) + 8
2
分析： 分析：任意一个一元二次方程经过整理，都可以化成一般形式.二次项系数、一次项系 数及常数项都是方程在一般形式下定义的， 所以求一元二次方程的各项系数时， 必须先将方 程化为一般形式。另外，在确定各项的系数时，千万不要漏掉了各项系数的符号。一般情况 下将方程的二次项系数化为正数。 解： （
1）方程 1 x = 5x 的一般形式是：x2 + 5x 1 = 0 ，二次项、一次项、常数项分别是： x 2 、5x、－
1，二次项系数、一次项系数分别是：
1、
5。
2
（
2）方程 3 x ( x
1) = 2( x +
2) + 8 的一般形式是： 3x
2
2
5 x 12 = 0 ，二次项、一
次项、常数项分别是： 3x 、－5x、－
12，二次项系数、一次项系数分别是：
3、－
5。 点拨： 点拨：写二次项系数、一次项系数、常数项时，要先将方程化成一般形式再写.写各项 系数时，一定要带着前面的符号。 例
3. 方程 ax 2 (a
2) x + 5 = 0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是（ ）
A. a≠0 且 a≠2 B. a≠0 或 a≠2 C. a≠0 D. a=0 或 a=2 分析： 分析：根据一元二次方程的条件可知，只要二次项系数不等于 0 就可以了。所以，本题 中只要满足 a≠0 这个条件，方程 ax 2 (a
2) x + 5 = 0 就是一元二次方程。 解：选 C 点拨： 点拨：形如 ax + bx + c = 0 的方程不一定是一元二次方程.当 a≠0 时，是一元二次方 程；当 a=
0，且 b≠0 时，是一元一次方程。
2
例
4. 如果关于 x 的一元二次方程 (m
2)x2 + 3x + m2 4 = 0 有一个解是
0，求 m 的值。 分析： 分析：根据方程的解的意义可知，当 x=0 时，方程左右两边相等，此题即是求当 x=0 时，m 的值.但同时一定要记住，当方程是一元二次方程时，二次项系数不为 0 这一前提条 件，即 m－
2≠
0。 解：将 x=0 代入方程中，得
( m
2) × 0 2 3 × 0 + m 2 4 = 0 整理得： m 2 = 4 ， m = ±2
∵方程为关于 x 的一元二次方程， ∴m－
2≠
0，即 m≠2 ∴m 的值为－2
点拨： 点拨：要判断一个值是否是一元二次方程的解，只要将这个值代入一元二次方程，看看 方程左右两边是否相等即可.相等，则是方程的解；反之，则不是。 例
5. 根据题意列出方程，(不解方程) （
1）将进货单价为 40 元的商品按 50 元出售时，能卖掉 500 个，已知该商品每涨价 1 元，其销售量就减少 10 个，为了赚 8000 元的利润，售价应定为多少？ （
2）用一根长 30 厘米的铁丝折成一个斜边长 13 厘米的直角三角形，求这个三角形的 面积。 分析： 分析：在（
1）中必须明确：利润=售价－进价，当售价定为 x 元时，则销量为（5
00－ 10x）个，每个利润为[(50+x)－40]元，于是可列方程。第（
2）问题中利用勾股定理作为等 量关系列方程。 （
1）设每个商品涨价 x 元，则销售价为（
50＋x）元，销售量为（5
00－10x）个， 解： 根据题意有： （5
00－10x） [(50+x)－40]=80
00。 （
2）设三角形一条直角边长为 xcm，根据题意得：
(30 13 x)2 + x 2 = 132
（
1）把实际问题抽象成数学问题，关键是能够运用所学的数量关系，列出方程。 点拨： （
2） 列方程的关键是寻找题目中的数量关系， 再用含有未知数的代数式表示这种数量关系。 例
6. 已 知 (k +
2) x 2kx + 5 = 0 是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ， 且 k 满 足 不 等 式
2
k 2 4k + 1 ≥ + 1 。试写出一元二次方程的二次项系数和一次项系数，并确定 k 的取值范 3 2
围。 分析： 分析：本题中确定二次项系数、一次项系数，为今后解一元二次方程打下基础，另外， 此题中方程和不等式中均含有 k，故 k 既要满足一元二次方程的条件，又要满足不等式的解 集，这里容易忽略 k≠－2 这个前提条件。 解：因为 (k +
2) x 式
2
2kx + 5 = 0 是一元二次方程，所以 k+
2≠
0，即 k≠－
2.又解不等
k 2 4k + 1 ≥ + 1 ，可得 k≤－
1.
3，所以 k 的取值范围是 k≤－
1.3 且 k≠－
2，二次项系 3 2
数是(k+
2)，一次项系数是－2k。
例
7.
a 2 + ac 已知： 关于 x 的一元二次方程 ax + bx + c = 0 的两根分别为
2， 求分式 2 －
3， a bc
2
的值。 分析： 分析：由根的定义，我们可以得到关于 a、b、c 的方程组，但其中有三个未知数，只有 两个方程，此时，我们只要将其中一个作为常数就行了。 解：由题意，得： ： ∴
4a + 2b + c = 0 9a 3b + c = 0
4a + 2b = c 9a 3b = c
1 a = 6 c 解得： b = 1 c 6 1 2 1 2 c c a 2 + ac 36 6 =5 ∴ 2 = 1 2 1 2 a bc 7 c + c 36 6
点拨： 点拨：当方程中方程的个数与未知数的个数不等时，常将一些字母作为常数，这种技巧 我们称为“减元”技巧。 例
8. 若 2 是关于 x 的方程 x (3 + k ) x + 12 = 0 的一个根，求以 2 和 k 为两边的等腰三
2
角形的周长。 分析： 分析：根据方程的解的定义，先求出 k 的值，再用分类的思想方法确定等腰三角形的另 两边长。 解：把 x=2 代入原方程得
4－
2（
3＋k）＋12=
0，解得 k=5 ∴（
1）当以 2 为腰时，三角形的三边为
2、
2、
5，此时，
2＋2<
5，所以不能够组成三 角形。 即 2 不能为三角形的腰。 （
2）当以 5 为腰时，三角形的三边为
2、
5、
5，此时，能够组成三角形。 所以三角形的周长为
5＋
5＋2=12 点拨： 确定等腰三角形的边长时， 要注意 “三角形任意两边之和大于第三边” 这一性质。 点拨： 否则会出现错误的解答。 例
9. 一天，老师在黑板上布置了这样一道题目：如果 2 y 的一元二次方程，你能试着求出 a、b 的值吗？ 下面是小明和小敏两位同学的解法： 小明：根据题意得 小敏：根据题意得
a b
3 y 2 a +b + 8 = 0 是关于 y
a = 1 2a + b = 2 ，解方程组为 b = 0 a b = 1
a = 1 a = 1 2a + b = 2 2 a + b = 1 或 ，解方程组得 或 b = 0 b = 1 a b = 1 a b = 2
你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？若都不正确， 你能给出正确的解答吗？ 分析： 分析：本题属于对一元二次方程的概念的考查，本题中无论二次项、一次项都不明确， 所以要进行分类讨论，考虑每一种可能出现的情况，相比之下小敏同学做的周到一些，但是 还不够全面，因为 y a b 和 y 2a +b 的指数只要有一个为 2 就行了，所以一共有 5 种情况。 解：两位同学的解答都不正确，考虑的不全面。 要使 2 y
a b
3 y 2 a +b + 8 = 0 是关于 y 的一元二次方程
则有：
2 a + b = 2 2a + b = 2 2 a + b = 1 2 a + b = 2 2 a + b = 0 或 或 或 或 a b = 2 a b = 2 a b = 1 a b = 2 a b = 0
4 a= a 3 或 解方程组得 b b = 2 3
= 1 a = a = 1 a = 3 3 或 或 或 =0 4 2 b = 1
b = 3
2
2
b=
3
2a + b = 2 点拨： 思考要严密， 此题在解答时最易漏解 点拨 对不明确的问题进行分类讨论时， a b = 0
和
2a + b = 0 两种情况。 a b = 2
例
10. 设 x1 , x2 是 一 元 二 次 方 程
ax 2 + bx + c = 0 的 两 个 根 ， 求 代 数 式
2
a( x13 + x23 ) + b( x12 + x22 ) + c( x1 + x2 ) 的值。
分析： “方程 ax + bx + c = 0 可以看作是关于 x 的二次三项式 ax + bx + c 分析 本题考查 的值为
0”的思想，所以将所求代数式化成关于 x1 , x2 的二次三项式是解本题的关键。
2
解：因为 x1 , x2 是一元二次方程 ax + bx + c = 0 的两个根
2
所以 ax12 + bx1 + c = 0 ， ax2 2 + bx2 + c = 0 所以 a ( x1 + x2 ) + b( x1 + x2 ) + c ( x1 + x2 )
3 3 2 2
= ax13 + ax23 + bx12 + bx2 2 + cx1 + cx2 = ( ax13 + bx12 + cx1 ) + ( ax23 + bx2 2 + cx2 ) = x1 (ax12 + bx1 + c) + x2 (ax2 2 + bx2 + c) = x1 0 + x2 0 =0 点拨： 点拨：解这类题目的基本思想是：方程的根一定满足原方程，因此将根的数值代回原方 程即可得关于未知数的等式， 通过对代数式的变形和已得到的等式发生关系， 从而解得本题。 这种方法也是数学解题的最基本的方法之一。
（答题时间：40 分钟） 【模拟试题】 模拟试题】
一、选择题：
1. 一元二次方程的一般形式是（ A. x + bx + c = 0
2
） B. ax + bx + c = 0
2
C. ax 2 + bx + c = 0( a ≠
0)
2
D. 以上均不对
2. 有一元二次方程 5 x + 16 x + 3 = 0 ，把二次项系数变成正数，且使方程的根不变的是 （ ） A. 5 x + 16 x + 3 = 0
2
B. 5 x 16 x 3 = 0
2
C. 5 x + 16 x 3 = 0
2
D. 5 x 16 x + 3 = 0
2
3. 方程 px 2 3 x + p 2 p = 0 是关于 x 的一元二次方程，则（ A. p = 1 A. 5 二、填空题： B. p > 0
2
） ）
C. p ≠ 0 C.－3
D. p 为任意实数
4. 方程 ( x
3)( x +
3) + (2 x +
1) = x 2 的常数项是（ B. 3
D. 0
2
5. 关于 x 的方程 ( m
3) x 3 x 2 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是
。
6. 当 m=
时，方程 ( m
1) x 2 (2m
1) x + m = 0 是关于 x 的一元一次方程，当 。 。
m时，上述方程是关于 x 的一元二次方程。
7. 一元二次方程 (a
1) x 2 + x + a 2 1 = 0 的一个根是
0，则 a 的值是
8. 若 b（b≠
0）是关于 x 的方程 2 x + cx + b = 0 的根，则 2b＋c 的值为
2
三、解答题：
9. 根据题意列出方程，不解方程：有一个两位数，两个数字的和为
6，数字的积等于这个 两位数的
1 ，求这个两位数。 3
2
2
2007 的值。 m2 + 1 k 1 4k + 1 2 ≥ 1的
11. 已知 (3k +
1) x + 2kx = 3 是关于 x 的一元二次方程，求不等式 2 3
10. 已知 m 是方程 x 2007 x + 1 = 0 的一个根，求 m 2006m + 解集。
12. 根据下列条件，分别编写一个关于 x 的一元二次方程： （
1）方程有一个根是－
1，常数项是
3； （
2）方程有一个根是
0，二次项系数是
6.
【试题答案】 试题答案】
1. C
2. B
3. C 2 2 提示：要使 px 3 x + p p = 0 为一元二次方程，只要