802§23.1 一元二次方程(初中三年级数学)



一. 本周教学内容:

  23.1
一元二次方程
二. 重点、难点:
  1. 重点: (
  1)经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程,体会方程是刻画现实世界的有效数 学模型; (
  2)理解一元二次方程的概念和它的一般形式。
  2. 难点: 会根据实际问题列一元二次方程。 三. 知识梳理:
  1. 一元二次方程的概念:只含一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做 一元二次方程。 说明:一元二次方程满足的条件: (
  1)是整式方程,即方程两边都是关于未知数的整式; (
  2)只含有一个未知数; (
  3)未知数的最高次数是 2 次; (
  4)经过整理后,能写成 ax 2 + bx + c = 0( a ≠
  0) 的形式。
  2. 一元二次方程的一般形式是:ax + bx + c = 0 (a、b、c 是已知数,a≠
  0),它的特征是:
2
等式左边是一个关于未知数的二次三项式,右边是零,其中 ax 叫做二次项,a 叫做二次项 系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。 说明: 是一元二次方程; (
  1)形如 ax + bx + c = 0 的方程不一定是一元二次方程.当 a≠0 时, 当 a=
  0,且 b≠0 时,是一元一次方程。 (
  2)写二次项系数、一次项系数、常数项时,要先将方程化成一般形式再写.写各项系 数时,一定要带着前面的符号。
  3. 一元二次方程的解:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值,叫做一元二次方程 的解,或叫做一元二次方程的根。 说明:要判断一个值是否是一元二次方程的解,只要将这个值代入一元二次方程,看看 方程左右两边是否相等即可.相等,则是方程的解;反之,则不是。
  4. 根据实际问题的情景,构建一元二次方程模型 (
  1)把实际问题抽象成数学问题,关键是能够运用所学的数量关系,列出方程; (
  2)列方程的关键是寻找题目中的数量关系,再用含有未知数的代数式表示这种数量 关系。
2
2
【典型例题】 典型例题】

  1. 判断下列方程是不是一元二次方程。 ① ④ ⑦
2 =
  3; x +5
2

x2 5x = 0 ;
③ x 2 2 xy 3 = 0 ; ⑥
x + x+5 =
  0;
1 = 2x ; x +1
2
⑤ 2 x ( x
  3) = 2 x 2 + 1 ; ⑧ abx + (a + b) x + 1 = 0 ;
2
1 + 3x = x 3 ; x
2
⑨x
3 3x + 4 = 0 ;

px 2 + qx + m = 0 (p、q、m 是常数,p≠
  0) 。
分析: 分析:方程①⑥⑦的左边是分式,不是整式方程,故不是一元二次方程;方程③中含有 两个未知数,不是一元二次方程;方程④的左边不是整式,故不是一元二次方程;方程⑤经 过整理后,得-6x=
  1,不是一元二次方程;方程⑧中,未明确 ab≠
  0,它不是一元二次方程。 解:上述方程中只有方程②⑨⑩是一元二次方程 点拨: 一元二次方程满足的条件: (
  1) 是整式方程, 即方程两边都是关于未知数的整式; 点拨: (
  2)只含有一个未知数; (
  3)未知数的最高次数是 2 次; (
  4)经过整理后,能写成 2 ax + bx + c = 0(a ≠
  0) 的形式。 例
  2. 把下列方程化为一般形式,并求出它们的二次项、一次项、二次项系数、一次项系 数、常数项。 (
  1) 1 x = 5 x (
  2) 3x( x
  1) = 2( x +
  2) + 8
2
分析: 分析:任意一个一元二次方程经过整理,都可以化成一般形式.二次项系数、一次项系 数及常数项都是方程在一般形式下定义的, 所以求一元二次方程的各项系数时, 必须先将方 程化为一般形式。另外,在确定各项的系数时,千万不要漏掉了各项系数的符号。一般情况 下将方程的二次项系数化为正数。 解: (
  1)方程 1 x = 5x 的一般形式是:x2 + 5x 1 = 0 ,二次项、一次项、常数项分别是: x 2 、5x、-
  1,二次项系数、一次项系数分别是:
  1、
  5。
2

  2)方程 3 x ( x
  1) = 2( x +
  2) + 8 的一般形式是: 3x
2
2
5 x 12 = 0 ,二次项、一
次项、常数项分别是: 3x 、-5x、-
  12,二次项系数、一次项系数分别是:
  3、-
  5。 点拨: 点拨:写二次项系数、一次项系数、常数项时,要先将方程化成一般形式再写.写各项 系数时,一定要带着前面的符号。 例
  3. 方程 ax 2 (a
  2) x + 5 = 0 是一元二次方程,则 a 的取值范围是( )
A. a≠0 且 a≠2 B. a≠0 或 a≠2 C. a≠0 D. a=0 或 a=2 分析: 分析:根据一元二次方程的条件可知,只要二次项系数不等于 0 就可以了。所以,本题 中只要满足 a≠0 这个条件,方程 ax 2 (a
  2) x + 5 = 0 就是一元二次方程。 解:选 C 点拨: 点拨:形如 ax + bx + c = 0 的方程不一定是一元二次方程.当 a≠0 时,是一元二次方 程;当 a=
  0,且 b≠0 时,是一元一次方程。
2

  4. 如果关于 x 的一元二次方程 (m
  2)x2 + 3x + m2 4 = 0 有一个解是
  0,求 m 的值。 分析: 分析:根据方程的解的意义可知,当 x=0 时,方程左右两边相等,此题即是求当 x=0 时,m 的值.但同时一定要记住,当方程是一元二次方程时,二次项系数不为 0 这一前提条 件,即 m-
  2≠
  0。 解:将 x=0 代入方程中,得
( m
  2) × 0 2 3 × 0 + m 2 4 = 0 整理得: m 2 = 4 , m = ±2
∵方程为关于 x 的一元二次方程, ∴m-
  2≠
  0,即 m≠2 ∴m 的值为-2
点拨: 点拨:要判断一个值是否是一元二次方程的解,只要将这个值代入一元二次方程,看看 方程左右两边是否相等即可.相等,则是方程的解;反之,则不是。 例
  5. 根据题意列出方程,(不解方程) (
  1)将进货单价为 40 元的商品按 50 元出售时,能卖掉 500 个,已知该商品每涨价 1 元,其销售量就减少 10 个,为了赚 8000 元的利润,售价应定为多少? (
  2)用一根长 30 厘米的铁丝折成一个斜边长 13 厘米的直角三角形,求这个三角形的 面积。 分析: 分析:在(
  1)中必须明确:利润=售价-进价,当售价定为 x 元时,则销量为(5
  00- 10x)个,每个利润为[(50+x)-40]元,于是可列方程。第(
  2)问题中利用勾股定理作为等 量关系列方程。 (
  1)设每个商品涨价 x 元,则销售价为(
  50+x)元,销售量为(5
  00-10x)个, 解: 根据题意有: (5
  00-10x) [(50+x)-40]=80
  00。 (
  2)设三角形一条直角边长为 xcm,根据题意得:
(30 13 x)2 + x 2 = 132

  1)把实际问题抽象成数学问题,关键是能够运用所学的数量关系,列出方程。 点拨: (
  2) 列方程的关键是寻找题目中的数量关系, 再用含有未知数的代数式表示这种数量关系。 例
  6. 已 知 (k +
  2) x 2kx + 5 = 0 是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 , 且 k 满 足 不 等 式
2
k 2 4k + 1 ≥ + 1 。试写出一元二次方程的二次项系数和一次项系数,并确定 k 的取值范 3 2
围。 分析: 分析:本题中确定二次项系数、一次项系数,为今后解一元二次方程打下基础,另外, 此题中方程和不等式中均含有 k,故 k 既要满足一元二次方程的条件,又要满足不等式的解 集,这里容易忽略 k≠-2 这个前提条件。 解:因为 (k +
  2) x 式
2
2kx + 5 = 0 是一元二次方程,所以 k+
  2≠
  0,即 k≠-
  2.又解不等
k 2 4k + 1 ≥ + 1 ,可得 k≤-
  1.
  3,所以 k 的取值范围是 k≤-
  1.3 且 k≠-
  2,二次项系 3 2
数是(k+
  2),一次项系数是-2k。

  7.
a 2 + ac 已知: 关于 x 的一元二次方程 ax + bx + c = 0 的两根分别为
  2, 求分式 2 -
  3, a bc
2
的值。 分析: 分析:由根的定义,我们可以得到关于 a、b、c 的方程组,但其中有三个未知数,只有 两个方程,此时,我们只要将其中一个作为常数就行了。 解:由题意,得: : ∴
4a + 2b + c = 0 9a 3b + c = 0
4a + 2b = c 9a 3b = c
1 a = 6 c 解得: b = 1 c 6 1 2 1 2 c c a 2 + ac 36 6 =5 ∴ 2 = 1 2 1 2 a bc 7 c + c 36 6
点拨: 点拨:当方程中方程的个数与未知数的个数不等时,常将一些字母作为常数,这种技巧 我们称为“减元”技巧。 例
  8. 若 2 是关于 x 的方程 x (3 + k ) x + 12 = 0 的一个根,求以 2 和 k 为两边的等腰三
2
角形的周长。 分析: 分析:根据方程的解的定义,先求出 k 的值,再用分类的思想方法确定等腰三角形的另 两边长。 解:把 x=2 代入原方程得
  4-
  2(
  3+k)+12=
  0,解得 k=5 ∴(
  1)当以 2 为腰时,三角形的三边为
  2、
  2、
  5,此时,
  2+2<
  5,所以不能够组成三 角形。 即 2 不能为三角形的腰。 (
  2)当以 5 为腰时,三角形的三边为
  2、
  5、
  5,此时,能够组成三角形。 所以三角形的周长为
  5+
  5+2=12 点拨: 确定等腰三角形的边长时, 要注意 “三角形任意两边之和大于第三边” 这一性质。 点拨: 否则会出现错误的解答。 例
  9. 一天,老师在黑板上布置了这样一道题目:如果 2 y 的一元二次方程,你能试着求出 a、b 的值吗? 下面是小明和小敏两位同学的解法: 小明:根据题意得 小敏:根据题意得
a b
3 y 2 a +b + 8 = 0 是关于 y
a = 1 2a + b = 2 ,解方程组为 b = 0 a b = 1
a = 1 a = 1 2a + b = 2 2 a + b = 1 或 ,解方程组得 或 b = 0 b = 1 a b = 1 a b = 2
你认为上述两位同学的解法是否正确?为什么?若都不正确, 你能给出正确的解答吗? 分析: 分析:本题属于对一元二次方程的概念的考查,本题中无论二次项、一次项都不明确, 所以要进行分类讨论,考虑每一种可能出现的情况,相比之下小敏同学做的周到一些,但是 还不够全面,因为 y a b 和 y 2a +b 的指数只要有一个为 2 就行了,所以一共有 5 种情况。 解:两位同学的解答都不正确,考虑的不全面。 要使 2 y
a b
3 y 2 a +b + 8 = 0 是关于 y 的一元二次方程
则有:
2 a + b = 2 2a + b = 2 2 a + b = 1 2 a + b = 2 2 a + b = 0 或 或 或 或 a b = 2 a b = 2 a b = 1 a b = 2 a b = 0
4 a= a 3 或 解方程组得 b b = 2 3
= 1 a = a = 1 a = 3 3 或 或 或 =0 4 2 b = 1
b = 3

2

2

b=
3
2a + b = 2 点拨: 思考要严密, 此题在解答时最易漏解 点拨 对不明确的问题进行分类讨论时, a b = 0

2a + b = 0 两种情况。 a b = 2

  10. 设 x1 , x2 是 一 元 二 次 方 程
ax 2 + bx + c = 0 的 两 个 根 , 求 代 数 式
2
a( x13 + x23 ) + b( x12 + x22 ) + c( x1 + x2 ) 的值。
分析: “方程 ax + bx + c = 0 可以看作是关于 x 的二次三项式 ax + bx + c 分析 本题考查 的值为
  0”的思想,所以将所求代数式化成关于 x1 , x2 的二次三项式是解本题的关键。
2
解:因为 x1 , x2 是一元二次方程 ax + bx + c = 0 的两个根
2
所以 ax12 + bx1 + c = 0 , ax2 2 + bx2 + c = 0 所以 a ( x1 + x2 ) + b( x1 + x2 ) + c ( x1 + x2 )
3 3 2 2
= ax13 + ax23 + bx12 + bx2 2 + cx1 + cx2 = ( ax13 + bx12 + cx1 ) + ( ax23 + bx2 2 + cx2 ) = x1 (ax12 + bx1 + c) + x2 (ax2 2 + bx2 + c) = x1 0 + x2 0 =0 点拨: 点拨:解这类题目的基本思想是:方程的根一定满足原方程,因此将根的数值代回原方 程即可得关于未知数的等式, 通过对代数式的变形和已得到的等式发生关系, 从而解得本题。 这种方法也是数学解题的最基本的方法之一。
(答题时间:40 分钟) 【模拟试题】 模拟试题】
一、选择题:
  1. 一元二次方程的一般形式是( A. x + bx + c = 0
2
) B. ax + bx + c = 0
2
C. ax 2 + bx + c = 0( a ≠
  0)
2
D. 以上均不对

  2. 有一元二次方程 5 x + 16 x + 3 = 0 ,把二次项系数变成正数,且使方程的根不变的是 ( ) A. 5 x + 16 x + 3 = 0
2
B. 5 x 16 x 3 = 0
2
C. 5 x + 16 x 3 = 0
2
D. 5 x 16 x + 3 = 0
2

  3. 方程 px 2 3 x + p 2 p = 0 是关于 x 的一元二次方程,则( A. p = 1 A. 5 二、填空题: B. p > 0
2
) )
C. p ≠ 0 C.-3
D. p 为任意实数

  4. 方程 ( x
  3)( x +
  3) + (2 x +
  1) = x 2 的常数项是( B. 3
D. 0
2
  5. 关于 x 的方程 ( m
  3) x 3 x 2 = 0 是一元二次方程,则 m 的取值范围是


  6. 当 m=
时,方程 ( m
  1) x 2 (2m
  1) x + m = 0 是关于 x 的一元一次方程,当 。 。
m时,上述方程是关于 x 的一元二次方程。
  7. 一元二次方程 (a
  1) x 2 + x + a 2 1 = 0 的一个根是
  0,则 a 的值是
  8. 若 b(b≠
  0)是关于 x 的方程 2 x + cx + b = 0 的根,则 2b+c 的值为
2
三、解答题:
  9. 根据题意列出方程,不解方程:有一个两位数,两个数字的和为
  6,数字的积等于这个 两位数的
1 ,求这个两位数。 3
2
2
2007 的值。 m2 + 1 k 1 4k + 1 2 ≥ 1的
  11. 已知 (3k +
  1) x + 2kx = 3 是关于 x 的一元二次方程,求不等式 2 3

  10. 已知 m 是方程 x 2007 x + 1 = 0 的一个根,求 m 2006m + 解集。
  12. 根据下列条件,分别编写一个关于 x 的一元二次方程: (
  1)方程有一个根是-
  1,常数项是
  3; (
  2)方程有一个根是
  0,二次项系数是
  6.
【试题答案】 试题答案】

  1. C
  2. B
  3. C 2 2 提示:要使 px 3 x + p p = 0 为一元二次方程,只要
 

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