高中一年级数学第二学期期末考试试卷



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高中一年级
数学第二学期期末考试试卷
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 页至第 2 页,第 Ⅱ卷第 3 页至第 6 页,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷
(选择题
满分 60 分)
注意事项:
  1.答第Ⅰ卷前,请考生将自己的姓名、准考证号、考试科目用 2B 铅笔填涂在答题卡上;
  2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题号的大难标号涂黑;如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试卷上;
  3.考试结束后,将第Ⅱ卷和答题卡一并收回。 一.选择题:本大共 12 小题,每小题 5 分,在每小题的四个选项中只有一个是正确的.
  1、时钟的分针经过 40 分钟时间旋转的角度是( ) B、 40 0 C、 ?40 0 D、 ?240 0 A、 240 0
  2、半径为 3 的圆中有一条弧的长度是 A、 30
π
2
,则此弧所对的圆周角是(
)
0 B、 150 C、 40 0 D、 20 0 r r r r
  3、若 a = ( ?
  2,
  1) , b = ( x , ?
  3) , a // b ,则 x = ( )
A、
3 2
B、
2 3
C、 6 )
D、
1 6

  4、下列函数中,周期为 1 的奇函数是( A、 y = 1 ? 2sin 2 π x C、 y = sin π x cos π x
B、 y = cos ? 2π x + D、 y = cot
? ?
π?
? 3?
x 2 r r r
  5、若 a 、 b 、 c 为任意向量, m ∈ R ,则下列等式不一定成立的是( r r r r r r r r r r r r r A、 a + b ? c = a ? c + b ? c B、 a + b + c = a + b + c r r r r r r r r r r C、 m a + b = ma + mb D、 a ? b ? c = a ? b ? c
π
(
(
)
)
( ) ( )
( )
(
)
)

  6、函数 y = 6 cot ? 3 x ? A、 ? ?
? ?
π?
? 3π ? ?π ? D、 ? ,? ,? 0 0 ? 4 ? ?6 ? r r r r r r r
  7、设 a 、 b 、 c 是任意的非零向量,且相互不共线,给出下列三个命题:① a ? b p a ? b ; r r r r r r2 r2 r r r r r r ② b ? c a ? c ? a b 不与 c 垂直; ③ 3a + 2b ? 3a ? 2b = 9 a ? 4 b
? 的图象的一个对称中心的坐标是( 4? ? 4π ? ?π ? B、 ? C、 ? ,? ,? 0 0 ? 3 ? ?2 ?
)
( ) ( )
(
)(
)
其中真命题的个数是( A、 0 B、 1
) C、 2
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D、 3
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  8、已知 sin (θ + π ) p 0 , cos (θ ? π ) p 0 ,则下列不等关系中必定成立的是( A、 sin

θ
2
f cos
θ
2
B、 sin
θ
2
p cos
θ
2
C、 tan
θ
2
f cot
)
θ
2
D、 tan
θ
2
p cot
θ
2

  9、已知 sin ? α ? A、
? ?
π? 1
? = ,且 α 为锐角,则 cos α = ( 6? 3
B、
?1 + 2 6 ?1 + 2 3 D、 6 4 uuu uuur r uuur uuu uuu r r
  10、已知平面上四个互异的点 A、B、C、D 满足: AB ? AC ? 2 AD ? BD ? CD = 0 ,
C、 则 ?ABC 的形状是( ) A、等边三角形 B、等腰三角形
1+ 2 6 6
1+ 2 3 4
(
)(
)
C、直角三角形
D、斜三角形

  11、已知关于 x 的方程 cos 2 x ? 2sin x + 2a + 1 = 0 在区间 ?
  0, ? 内有解,则实数 a 的取值范 2 C、 [
  0,
  1) D、 [ ?
  1, 0 ) r
  12、将函数 y = 3 x 的图象按向量 a 平移后得到函数 y = 3 x + 9 的图象,给出以下四个结论: r r r ① 可取 a = ( ?
  3, 0 ) ;② 可取 a = (
  0, 9 ) ;③ 可取 a = ( ?
  3, 0 ) 或 (
  0, 9 ) ;④ 可取 r 无数个 a ;其中正确的是( ) B、 ( ?
  1,
  1) A、① B、① ② C、① ② ③ D、① ② ③ ④ 围是( A、 ( ?
  1, 1] )
? π? ? ?
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班级 考号 姓名 密 封 线 内 不 得 答 题
高中一年级第二学期期末考试试卷

答案

答 题 卷
一.选择题:本大共 12 小题,每小题 5 分,在每小题的四个选项中只有一个是正确的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号
第Ⅱ卷
r r r r r r
(非选择题
共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案直接添在题中的横线上。
  13、已知 a = 6i + j , b = ?2i + 2 j ,若单位向量 c 与 2a + 3b 同向,则向量 c 的坐标是 .
  14、计算:
r
r
r
r
sin100 + sin 200 cos 300 ,其值为 . cos100 ? sin 200 sin 300 r π 图象的解析式是.
  15、 函数 y = sin 3 x 的图象按向量 a = ? ? , 1? 平移后, ? ? ? 6 ? 3
  16、观察 sin 2 200 + cos 2 500 + sin 200 cos 500 = 3 ; sin 2 150 + cos 2 450 + sin150 cos 450 = ; 4 4
请写出一个与以上两式规律相同的等式:. 三.解答题: 本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
  17.(本题满分 12 分)
uuu uuur r 其中 x ∈ ( ?π ,π ) ,若向量 OP 与 OQ 垂直,求 x 的值。
在直角坐标系 xoy 中,已知点 P
( 2 cos x +
  1, 2 cos 2 x + 2 ) 和点 Q ( cos x, ?
  1) ,
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  18.(本题满分 12 分)
3? 3 π? ? ? π p α p ? ? ,函数 f ( x ) = sin (α ? x ) + 2cos α ? sin (α + x ) 5? 4 2? (
  1)求 cos α 的值; (
  2)若 f ?1 x 表示 f ( x ) 在 ? π π ? 上的反函数,试求 ?1 ? 10 ? 的值。
已知 sin 2α =
( )
?? 2 , ? 2? ?
f
?? ? 10 ? ? ? ?

  19.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是 ∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a 、 b 、 c 成等比数列, 且 a ? c = ac ? bc
2 2
求: (
  1)角 A 的值;

  2)
b sin B 的值。 c
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  20.(本题满分 12 分) 设向量 a = cos 23 , 67 cos
0
r

  1)求 a ? b ;
r r
(
0
cos ) , b = ( cos 68 , 22 ) , u = a + tb ( t ∈ R ) 。
0 0
r
r
r
r
r

  2)求 u 的模的最小值。

  21.(本题满分 12 分) 已知某海滨浴场的海浪高度 y (米)是时间 t ( 0 ≤ t ≤ 24 ,单位:小时)的函数,记作:
y = f ( t ) ,下表是某日各时的浪高数据: 0 3 6 9 t (时)
  1.5
  1.0
  0.5
  1.0 y(米)
经长期观察, y
12
  1.49
15 1
18
  0.51
21
  0.99
24
  1.5
= f ( t ) 的曲线可近似地看成函数 y = A cos ω t + b ( A f 0 ) 的图象。 (
  1)根据以上数据,求出函数 y = A cos ω t + b 的函数表达式;

  2)依据规定,当海浪高于 1 米时才对冲浪爱海好者开发,请依据(
  1)的结论,判断一天 内的上午
  8:00 至
  20:00 之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动。
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? π? ? 2? x+ y? 有f? ? ? = sin α ? f ( x ) + (1 ? sin α ) ? f ( y ) , ? 2 ?
设 α ∈ ?
  0, ? ,函数 f ( x ) 的定义域为 [
  0, ,且 f ( 0 ) = 0 , f (
  1) = 1 ;当 x ≥ y 时, 1]
求: (
  1) f ? 1 ? 、f ? 1 ? 、f ? 3 ? 关于 α 的表达式; ? ? ? ? ? ? ?2? ?4? ?4? (
  2) α 的值

  3)函数 g ( x ) = sin (α ? 2 x ) 的单调递增区间。
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密 封 线 内 不 得 答 题

  22.(本题满分 14 分)
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一.选择题: 1 题号 D 答案
60

5 D 6 A 7 C
参 考 答 案
8 D 9 C 10 B 11 A 12 D
2 B
3 C
4 C

  1、解: 40 × ( ?3600 ) = ?2400
= 150 r r r r x ?3
  3、解: a = ( ?
  2,
  1) , b = ( x , ?
  3) , a // b ? = ? x=6

  4、解: y = 1 ? 2 sin π x = cos 2π x ? T = 1 ,但为偶函数; y = cos ? 2π x + π ? ? f ( 0 ) ≠ 0 ? 非奇函 ? ?
2
1
  2、解: α = l = 2 = π = 300 ? 圆周角为 α 2 R 3 6
π
?2
1
?
3?
数; y = sin π x cos π x = 1 sin 2π x ? T = 1 ,且为奇函数 ; y = cot x ? T = 2 2 2 r r r r r r
  5、解:由向量的数量积不满足结合律得: a ? b ? c = a ? b ? c 不一定成立
π
π π
  6、解:由 y = cot x 的对称中心为 ? kπ ,? ( k ∈ Z ) 知:代入使 3 x ? 的值为 整数倍的成立 0? ? 4 2 ? 2 ?
( )
( )

  7、 因 a 、 、 是任意的非零向量, 解: b c 且相互不共线, 则由三角形三边关系得① a ? b p a ? b 成立;②取 a = b = c = 0 ,则 由 b ? c a ? c ? a b = 0 知 b ? c a ? c ? a b 不与 c 垂直不成立;
2 2
r r r
r
r
r r

  8、解:由 sin (θ + π ) p 0 ? sin θ f 0 ; cos (θ ? π ) p 0 ? cos θ f 0 得: θ ∈ 第一象限
?
( ) ( ) r r r r r r ③ 由向量运算知: ( 3a + 2b ) ? ( 3a ? 2b ) = 9a ? 4b
r r r r
r r r r r r
θ
2
r
r2 r2 = 9 a ? 4 b 成立
( ) ( )
r r r
r r r
r
θ θ π? ? ∈ ? kπ,kπ + ? ? tan p cot 2 2 4? ?
成立
3 1 1 ?1 + 2 6 ? ? = 2 3 2 6

  9、解: sin ? α ? π ? = 1 ? cos ? α ? π ? = 2 2 ? cos α = cos ?? α ? π ? + π ? = 2 2 ? ? ? ? ? ? ?? 6? 3 6? 3 6? 6? 3 ? ? ?? ? uuu uuur r uuur uuu uuu r r uuu uuu uuur r r uuu r
  10、解: AB ? AC ? 2 AD ? BD ? CD = 0 ? CB ? AB + AC = 0 ? CB ⊥
? 以 AB、AC 为边的平行四边形为菱形 ? AB=AC ? ?ABC 为等腰三角形
  11、解: cos 2 x ? 2sin x + 2a + 1 = 0 ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x + 2a + 1 = 0 ? sin 2 x + sin x ? a ? 1 = 0 π ?1 ± 1 + 4 a + 4 ?1 ± 4 a + 5 , 又∵ x ∈ ?
  0, ? ∴ sin x ∈ (
  0, ∴ sin x = ?1 + 4a + 5 1] ? sin x = = ? 2 2 2 ? 2? ? 代 a = 0 成立,代 a = 1 成立,从而选 A
r
(
)(
)
(
)
( AB + AC )
uuu uuur r

  12、解:将函数 y = 3 x 图象上任意点 P ( x,y ) 按向量 a = ( h,k ) 平移后得到函数 y = 3 x + 9 图
? x/ = x + h ? x = x/ ? h 象上对应点 P / x /,y / ,则: y / = 3 x / + 9 ① 及 ? ,代入 y = 3 x 得 ?? / / ?y = y + k ?y = y ? k
(
)
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r a = ( h, 3h + 9 ) ,从而应选 D
y ? k = 3 ( x ? h ) , 即 y = 3 x ? 3h + k ② , 对 比① ② 得 ?3h + k = 9 ? h = 3h + 9 , 故 :
/ /
/ /
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二.填空题: r r r r r r r r 4
  13、 ? 3 , ? 解: a = 6i + j = (
  6, , b = ?2i + 2 j = ( ?
  2,) ? 2a + 3b = (
  6,) ?
  1) 2 8 ? ? ?5 5? r r r 8 4 与 2a + 3b 同向的单位向量 c = (
  6,) = ? 3 , ? ? ? 2 2 5 5? ? 6 +8
  14、
3 3
解: sin100 + sin 200 cos 300
1 sin10 0 + ?sin 50 0 + sin ( ?100 ) ? ? sin100 + sin 50 0 2? = = 0 0 0 0 0 1 cos10 ? sin 20 sin 30 cos100 ? ? cos 500 ? cos ( ?100 ) ? cos10 + cos 50 ? ? 2
=
2cos 300 cos ( ?200 )
? ? 6 ? ?
2sin 300 cos ( ?200 )
=
sin 300 3 = 0 cos 30 3
? ? ? ? ? 6 ?? ?
r
  15、 y = sin 3 x 按向量 a = ? ? π , 1? 平移后得 y = sin ?3 ? x + π ? ? + 1 ,即 y = cos 3 x + 1

  16、解: sin 2 200 + cos 2 500 + sin 200 cos 500 = 3 ? sin 2 200 + sin 2 400 + sin 200 sin 400 = 3 4 4
sin 2 150 + cos 2 450 + sin150 cos 450 =
0
3 3 ? sin 2 150 + sin 2 450 + sin150 sin 450 = ; 4 4
观察得规律:化为正弦后两角和为 60 即可; 3 3 如: sin 2 100 + sin 2 500 + sin100 sin 500 = ? sin 2 100 + cos 2 400 + sin100 cos 400 = 4 4 三.解答题:
  17.解: ∵ P ( 2 cos x +
  1, 2 cos 2 x + 2 ) , Q ( cos x , ?
  1) ∴ OP = ( 2 cos x +
  1, 2 cos 2 x + 2 ) , OQ = ( cos x , ?
  1) uuu uuur r uuu uuur r 又∵ OP ⊥ OQ ∴ OP ? OQ = 0
uuu r
uuur
2 cos 2 x + cos x ? 2 cos 2 x ? 2 = 0 1 2 cos 2 x + cos x ? 2 ( 2 cos 2 x ?
  1) ? 2 = 0 , 2 cos 2 x ? cos x = 0 , cos x = 0 或 cos x = 2 π π π π 又∵ x ∈ ( ?π ,π ) ∴ x = ? 或x = 或 x = ? 或 x =

  18.解
  1: (
  1)∵ α ∈ ? ? 3 π , π ? ?
? ? 4 ? 2?
即: ( 2 cos x +
  1) ? cos x + ( 2 cos 2 x + 2 ) × ( ?
  1) = 0
?sin α + cos α p 0 ∴ sin α p cos α p 0 ? ? ?sin α ? cos α p 0
10 5 10 5
2
2
3
3

  2)∵ f ( x ) = sin (α ? x ) + 2 cos α ? sin (α + x )
? 8 2 2 ?( sin α + cos α ) = ? sin α + cos α = ? ∴ 3 ? 5 2 sin α cos α = ? ? 5 ? 2 2 ? ( sin α ? cos α ) = 5 ? sin α ? cos α = ? ? ∴两式相加得: 2 cos α = ? 10 ? cos α = ? 10 5 10
3 又∵ sin 2α = 5
= sin α cos x ? cos α sin x + 2cos α ? sin α cos x ? cos x sin x
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即 f ( x ) = 2cos α ? 2sin x cos α 又由(
  1)得: cos α = ? 10
10

? 10 ? f ( x ) = 2 (1 ? sin x ) ? ? ? ? 10 ? ? ? ?
∴当 f ( x ) = ? 10 时有 1 = 2 (1 ? sin x ) ? sin x = 1 2 10 1 π π ∴由反函数性质得: f ?1 ? ? 10 ? = π 又∵ x ∈ ? ? π , ? ∴ x = arcsin = ? ? 2 2? ? 10 ? 6 ? 2 6 ? ? ? ? 解
  2: (
  1)∵ α ∈ ? ? 3 π , π ? ?
? ? 4 ? 2?
∴ 2α ∈ ? ? 3 π , π ? ?
? ? 2
? ?
又∵ sin 2α = 3 5
? ? 4
∴ cos 2α =
? 2?
4 5
2 10
又∵ α ∈ ? ? 3 π , π ? ?
∴ cos α = ? 1 + cos 2 x = ? 10

  2)∵ f ( x ) = sin (α ? x ) + 2 cos α ? sin (α + x ) 即 f ( x ) = 2cos α ? 2sin x cos α
= sin α cos x ? cos α sin x + 2cos α ? sin α c
 

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