高中一年级数学精英习题2



数学精英解“排列组合” 6 数学精英解“排列组合”题

  1.(2007 年湖北卷第 1 题) 如果 ? 3 x 2 ?
? ?
2 ? ? x3 ?
n
的展开式中含有非零常数项, 则正整数 n
的最小值为 A.3 B.5 C.6 D.10 【解析 解析】B 问题与两项式的系数无关,只关心展开后的 x 零次项即可. 解析 令 x
( )
2 P
= ( x 3 ) Q ? P=3,Q=2,n=P+Q=
  5。
【说明】 “一望”后面的内容是考生心里想的,或在草纸上“乱画”的,是自己给自 己“交流”的,阅卷人看不懂没有关系.
  2.(2007 年湖北卷第 9 题)连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,记向量 a=(m,n)与向量 b=(1,-
  1)的夹角为θ,则 θ ∈ ?
  0, ? 的概率是 2
? ?
π? ?
A.
5 12
B.
1 2
C.
7 12
D.
5 6
【解析 C a? |a||b|cosθ=m-n, θ ∈ ?
  0, ? ,即 m-n≥
  0, m≥n, m, n = 1, 2,3, 4,5,
  6. 解析】 b= 即 但 解析 2
? ?
π? ?
若 m = n ,则有 6 种可能;若 m ? n ,则 m = 6, 5, 4, 3, 2 时,n 分别有
  5,
  4,
  3,
  2,1 共 15
= . 种选择方法.于是 θ ∈ ?
  0, ? 的概率是 p = 6 × 6 12 ? 2?

  3. 2007 年北京卷第 5 题) ( 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照, 要求排成一行, 2 位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有 A.1440 种 B.960 种 C.720 种 D.480 种 【解析 解析】B 解析
5
?
π?
6 + 15
7
2 位老人作一整体,插入 5 名志愿者的空档,有 C 1 ? P 2 ,5 名志愿者全排有 4 2
5
P 5 ,所以有 C 1 ? P 2 ?P 5 =9
  60. 4 2 【说明】 特殊元素先排.
  4.(2007 年山东卷第 12 题)位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动:质点每次移动一 个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是 后位于点 (
  2, 的概率是(
  3) )
1 ,质点 P 移动五次 2
-1-
A. ?
?1? ? ?2?
2
B.C 5 ?? ?
2
?1? ?2?
3
5 3
C.C 5 ?? ?
?1? ?2?
5
D.C 5 C 5 ? ?
2
3? 1 ?
5
?2?
【解析 解析】B P=C 5 ? ? ? ? ? = C 5 ?? ? 解析
2
2? 1 ?
2
?2?
?1? ?2?
?1? ?2?
5
【说明】 此题并不要求计算结果,为考生节省了宝贵的思考时间.
  5.(2007 年全国卷Ⅱ第 10 题) 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公 益活动,每人一天,要求星期五有 2 人参加,星期六、星期日各有 1 人参加,则不同的选派 方法共有 (A)40 种 (B) 60 种 (C) 100 种 (D) 120 种 解析】 【解析】B 完成这件事,可分二步完成,第一步从 5 个人中选出 2 人安排周五的活动,共 第二步从剩余的 3 人中再选出两人安排参加剩余两天的活动, 共有 A3 种选法。 有 C5 种选法; 根据分步记数原理,共有 C5 A3 = 60 种选派方法,故选 B.
2 2 2 2
【说明】 若排列数与组合数的意义混淆的,则易选错为 D. 说明】
n
1? ?
  6. (2007 年重庆卷第 4 题)若 ? x + ? 展开式的二项式系数之和为 64 ,则展开式的常数项为 x? ?
( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 120 n 【解析 解析】B 由 2 =64,得 n=6,所以展开式的通项 解析
Tr +1 =
r C6
?x
6? r
?1? r ? ? ? = C 6 ? x 6?2 r (0 ≤ x ≤ 6, r ∈ N). x? ?
3
r
由 6-2r=0,得 r=
  3.T4=C 6 =
  20. 【说明】 二项式定理的展开式通项及二项式系数之和的性质.
  7.(2007 年重庆卷第 6 题) 从 5 张 100 元, 3 张 200 元, 2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张,则所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为( ) A.
1 4
B.
79 120
C.
3 4
D.
23 24
3
【解析 解析】C 从总数为 10 的门票中任取 3 张,总的基本事件数是 C 10 =1
  20,而“至少有 2 解析 张价格相同”则包括了“恰有 2 张价格相同”和“恰有 3 张价格相同” ,即 C 5 +C 5 ?C 3 ? C 7 + C 2 ? C8 + C 5 + C3 = 90 (种).
2 1 2 1 2 1 3 3
所以,所求概率为
90 3 = . 120 4
-2-

  8.(2007 年辽宁卷第 9 题) 一个坛子里有编号为
  1,
  2,…,12 的 12 个大小相同的球,其中 1 到 6 号球是红球,其余的是黑球. 若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有 1 个球 的号码是偶数的概率为( ) A.
1 22
B.
1 11
C.
3 22
D.
2 11
【解析 解析】D 解析
P(A)=
2 2 C6 ? C3 2 C12
6 × 5
  3× 2 ? 2 = 2 . = 2 12 × 11 11 2
【说明】 本题考查概率的有关知识.
  9.(2007 年福建卷第 9 题) 把 1 + (1 + x) + (1 + x) 2 + ? + (1 + x) n 展开成关于 x 的多项式, 其各 项系数和为 an ,则 lim
n→∞
2 an ? 1 等于( an + 1
C. 1

A.
1 4
B.
1 2
D.2
2a n ? 1 3 ? ? = lim ? 2 ? n +1 ? = 2 . n →∞ a n + 1 n → ∞? 2 ?
【解析】D 令多项式中 x=1 得 an=2n+1-
  1,所以 lim 解析】
【说明】 本小题主要考查二项式定理以及数列、极限的有关知识. 说明】
7 数学精英解“平面向量”题 数学精英解“平面向量”

  1.(湖北卷第 2 题)将 y = 2 cos? 湖北卷第 湖北卷 象的解析式为 A. y = 2 cos?
? x π? ? π ? + ? 的图象按向量 a= ? ? ,?2 ? 平移,则平移后所得图 ?3 6? ? 4 ?
? x π? + ??2 ?3 4? ?x π ? ? ??2 ? 3 12 ?
B. y = 2 cos?
? x π? ? ?+2 ?3 4?
C. y = 2 cos?
D. y = 2 cos?
?x π ? + ?+2 ? 3 12 ?
解答:看向量 a= ? ?
? π ? ,指令图象左移和下移,按“同旁相减,异旁相 ,?2 ? 的数据“符号” ? 4 ?
加”的口诀,立可否定 B、C、D.答案为 A. 【说明】 口诀是经验的总结.直用口诀可不讲道理.沿向量 a=(m,n)移动 y=f(x)图象的结果是 y-n=f(x-m) (同旁相减) 或 y=f(x-m)+n (异旁相加)
-3-

  2. 北京卷第 4 题) (北京卷 北京卷第 已知 O 是△ABC 所在平面内一点, 为 BC 边中点, 2OA + OB + OC =
  0, D 且 , 那么 A. AO = OD C. AO = 3OD B. AO = 2OD D. 2 AO = OD
解答: 解答: OB + OC = 2OD, 因此 AO = OD. 答案 A.
  3.(湖南卷第 4 题)设 a,b 是非零向量,若函数 f(x)=(xa+b)?(a-xb)的图象是一条直线, 湖南卷第 湖南卷 则必有 ( ) A. a ⊥ b B. a ∥ b C. | a |=| b | D. | a |≠| b |
解答: 解答: f(x)的图象是一直线,则 f(x)是 x 的一次式.而 f(x)展开后有 x 的二次-x2a?b,故 -a?b=0 ? a⊥b,故选 A. ⊥
  4.(全国卷Ⅰ第 3 题)已知向量 a = ( ?
  5, , b = (
  6, ,则 a 与 b ( 全国卷Ⅰ
  6)
  5) 全国卷 A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 解答: 解答: ? 5 × 6 + 6 × 5 = 0 ,即 a?b=
  0. 答案为 A. ?
  5.(浙江卷第 7 题)若非零向量 a,b 满足 a + b = b ,则( 浙江卷第 A. 2a > 2a + b C. 2b > a + 2b B. 2a < 2a + b D. 2b < a + 2b

D.平行且反向

解答: 解答: a + b = b ,∴|a+b|2=|b|2,即(a+b)2=b2,整理得 a?b=-
1 2 |a| . 2
∴(|a+2b|-|2b|)2=a2+4a?b=-|a|2<0,∴|a+2b|<|2b|. 答案为 C.
  6. 全国卷Ⅱ第 5 题) (全国卷 全国卷Ⅱ 在?ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, AD =2 DB , = CA + λCB , 若 CD 则λ=
1 3
2 3 1 2 解答: 解答: AD = 2 DB ? CD ? CA = 2(CB ? CD ) ? CD = CA + CB ,故选 A 3 3
(A) (B) (C) (D) 【说明】 本题在正常运算的情况下,基本不会出现错误,除非在马虎大意的情况下,将向 说明】 量“移项”过程中没有变号.
2 3
1 3
1 3
-4-

  7. 全国卷Ⅱ第 9 题)把函数 y=ex 的图象按向量 a=(2,
  3)平移,得到 y=f(x)的图象,则 f(x)= (全国卷 全国卷Ⅱ (B) ex+3-2 (C) ex-2+3 (D) ex+2-3 (A) ex-3+2 解答: 解答: 按“左加右减,上加下减”法则和所给向量易知,答案为 C. 说明】 【说明】 如果法则和向量平移问题连接不好,易选错为 A 或 B 或 D.

  8.(天津卷第 10 题 )设两个向量 a = (λ +
  2,λ 2 ? cos 2 α ) 和 b = ? m, + sin α ? ,其中 天津卷第
? ?
m 2
? ?
λ,m,α 为实数.若 a = 2b ,则
A.[-6,1] B. [
  4, 8]
λ
m
的取值范围是( C.[-1,1]

D.[-1,6] ① ②
解答: 解答: 由题意知λ+2=2m,
λ2 ? cos 2 α = m + 2 sin α ,
由①得
λ 2 = 2? . m m
2 2 2 由①②得 4m ? 9m = 2 sin α + cos α ? 4 = ? sin α + 2 sin α ? 3,
∴-
  6≤4m2-9m≤-
  2. ∴
1 ≤m≤
  2. 4 λ 2 ∴ = 2 ? ∈ [ ?6,1] m m
答案为 A. 【说明】 两个参数的比值转化为只含一个参数,再求其范围.
  9.(重庆卷第 10 题)如题(
  10)图,在四边形 ABCD 中, 重庆卷第
AB + BD + DC = 4 ,
D
C
| AB | ? | BD | + | BD | ? | DC |= 4, AB ? BD = BD ? DC = 0 ,
则 ( AB + DC ) ? AC 的值为( A. 2 B. 2 2 ) C. 4 D. 4 2 A B 题 (
  10) 图
解答: 解答: 由 | BD | + (| AB | + | DC |) = 4, 以及 | BD | ?(| AB | + | DC |) = 4, 得 | BD |=| AB | + | DC |=
  2.
-5-
( AB + DC ) ? AC = ( AB + DC ) ? ( AB + BD + DC )

= AB 2 + AB ? BD + AB ? DC + DC ? AB + DC ? BD + DC 2 = AB 2 + 2 ? AB ? DC + DC 2 = (| AB | + | DC |) 2 = 2 2 =
  4.
答案为 C. 【说明】 向量积的简单运用.
  10.(辽宁卷第 3 题)若向量 a 与 b 不共线,a?b≠
  0,且 c = a ? ? 辽宁卷第 夹角为( A.0
? ?
? a ?b ? ?b ,则向量 a 与 c 的 ? a ?b ?
) B.
π 6
C.
π 3
D.
π 2
解答: 解答: a ? c = a ? ?a ? ?
? a?a ? ? a?b ? ? ? = a ?a ?a ?a = 0 . ?b ? = a ? a ? a ? b ? ? a ?b ? ? a?b ? ? π . 2
则 a 与 c 的夹角为 答案为 D.

  11.(辽宁卷第 6 题)若函数 y=f(x)的图象按向量 a 平移后,得到函数 y=f(x+
  1)-2 的图象,则 辽宁卷第 向量 a=( ) A. (-
  1,-
  2) B. (
  1,-
  2) C. (-
  1,
  2) D. (
  1,
  2) 解答: 得 可知它是由函数 y=f(x)的图象向左平移一个单位, 解答: 由 y=f(x+
  1)-
  2, y+2=f(x+
  1), 再向下平移两个单位得到的,所以向量 a=(-
  1,-
  2). 答案为 A.
  12.(福建卷第 4 题)对于向量 a,b,c 和实数 λ ,下列命题中真命题是( 福建卷第 B.若 λ a = 0 ,则 λ = 0 或 a = 0 A.若 a?b=
  0,则 a = 0 或 b = 0 C.若 a = b ,则 a = b 或 a = ?b
2 2

D.若 a?b=a?c,则 b = c
解答: 解答: 对于 A,可举反例:当 a⊥b 时,a ? b=
  0, 对于 C,a2=b2 只能推得|a|=|b|,而不能推出 a=±b. 对于 D,a ? b= a ? c 可以移项整理推得 a⊥(b - c). 答案为 B.
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  3)
8 数学精英解“数列”题 数学精英解“数列”

  1. 广东卷第 5 题)已知数列{ an }的前 n 项和 Sn = n 2 ? 9n ,第 k 项满足5< ak <8,则 (
-6-
k= (A)9 (B)8 (C)7 (D)6 解答: 解答: B 此数列为等差数列, an = Sn ? Sn ?1 = 2n ? 10 ,由 5<2k-10<8 得到 k=
  8.
  2. 天津卷第 8 题)设等差数列 {an } 的公差 d 不为
  0, a1 = 9d .若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中 (天津卷 项,则 k = ( ) A.2 B.4 C.6
2
D.8
解答: 解答 由题意得,an=(n+
  8)d,a k = a1a 2 k , ∴(k+
  8)2d2=9d(2k+
  8)d.∴k=
  4. 答案为 B.
2 a n+1 2 an

  3. 湖北卷第 6 题)若数列{an}满足 (
= p( p为正常数,n ∈N*),则称{an}为“等方比
数列”. 甲:数列{an}是等方比数列;乙:数列{an}是等比数列.则 A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解答:
a n+1 = ± p , 所 以 此 数 列 {an} 并 不 是 等 比 数 列 ; 若 {an} 是 等 比 数 列 , 则 an
2
2 a n+1 2 a n+1
?a ? = ? n +1 ? = q 2 ,数列{an}是等方比数列. ? a ? ? n ?
答案为 B. 【说明】
  1,
  2,
  4,
  8,-
  16,-
  32,……是等方比数列,但不是等比数列.
  4. 湖北卷第 8 题 ) 已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn ,且 (
An 7 n + 45 a = ,则使得 n 为整数的正整数 n 的个数是 Bn n+3 bn
A.2 B.3 C.4 D.5 解答: 解答 运用中值定理, S 2 n ?1 = ( 2n ?
  1) a n .
an ( 2n ?
  1) an A2 n?1 7 ( 2n ?
  1) + 45 14n + 38 = = = = bn ( 2n ?
  1) bn B2 n?1 2n + 2 ( 2n ?
  1) + 3 = 7 n + 19 12 =7+ n +1 n +1
-7-
可见,当且仅当 n=
  1,
  2,
  3,
  5,11 时, 答案为 D.
an 为正整数. bn

  5. 辽宁卷第 4 题) ( 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, S3=
  9, 6=
  36, a7+a8+a9= 若 S 则 ( A.63 B.45 C.36 D.27 解析
  1:设等差数列首项为 a
  1,公差为 d,

  3× 2 ? ?3a1 + 2 d = 9, ? 则? ?6a + 6 × 5 d =
  36. ? 1 2 ? 解得 ?a1 = 1, ? ? d =
  2.

∴a7+a8+a9=3a8=3(a1+7d)=
  3×(1+
  7×
  2)=
  45. 解析
  2:由等差数列的性质知: S′3=S6-S3=36-9=
  27,d′=S′3-S3=27-9=
  18. ∴S?3=S3+2d′=9+
  2×18=
  45. 答案为 B.

  6. 福建卷第 2 题)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an = (
1 ,则 S5 等于( n(n +
  1)
1 30

A.1 解答: 解答: 由 a n =
B.
5 6
C.
1 6
D.
1 1 1 ,得 a n = ? , n(n +
  1) n n +1
S 5 = a1 + a 2 + a3 + a 4 + a5 ? 1? ?1 1? ?1 1? ? 1 1? = ?1 ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? ? 2? ? 2 3? ?3 4? ? 4 5? 1 5 = 1? = . 6 6
答案为 B.
  7.
 

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