高中一年级数学期末考试试卷



高中一年级期末数学考 高中一年级期末数学考卷 年级期末数学
学生姓名:
题号 得分 一、选择题
测评得分:
二、填空题 三、计算题 总分
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的.
  1.若 sin (π + θ ) = A.第一象限
4 ?π ? 3 , sin ? + θ ? = ,则 θ 角的终边在 5 ?2 ? 5
B.第二象限 C.第三象限
( D.第四象限 ( D. 8 + k
→ →


  2.若 a = (1,
  2) , b = (4, k ) , c = 0 ,则 ( a ? b)c =
r
r
r
r
r r r

r
A. 0 B. 0

C. 4 + 2k


  3.设 α , β 都是锐角,向量 a =( cos α ,sin α ), b =(cos β ,-sin β ) ,若 a ? b = sin( α + β )等于( )
1 ,则 2
A、
1 2
B、
3 2
C、-
1 2
D、-
3 2

r r r r r (a ? a)b r r r r r r
  4.若向量 a 与 b 不共线, a ? b ≠ 0 ,且 c = a ? r r ,则向量 a 与 c 的夹角为( a ?b
A.
π 2
→ →
B.
π 6
→ →
C.
π 3
D.0 )
, ,则 a 在 b 方向上的投影为(
  5.若 a =(
  2,
  3) b =(-
  4,
  7) A、 13 B、
13 5
C、
65 5
D、 65

  6.函数 y = 2sin ω x cos ω x (ω >
  0) 的最小正周期为 π ,则函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + 一个单调增区间是 A. [ ? , ] ( B. [ ,π]
π
2
)的

π π 2 2
π 2
C. [ π, ]
3π 2
D. [
  0, ]

  7.已知函数 f ( x ) = tan(2 x ? bπ ) 的图象的一个对称中心为 ( 解析式为
π
3
π 2
,
  0) ,若 | b |<
1 ,则 f ( x ) 的 2
( )
A. tan(2 x + C. tan(2 x +
π π
3
)
B. tan(2 x ?
π π
6
)
) 或 tan(2 x ? ) 6 3
π
D. tan(2 x ?
) 或 tan(2 x + ) 6 3
π

  8.已知偶函数 f ( x ) 满足: f ( x ) = f ( x +
  2) ,且当 x ∈ [0,1] 时, f ( x ) = sin x ,其图象与 直线 y = A. 2
uuuu uuuu r r 1 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P , P2 L , P P ? P2 P4 等于 则 1 3 ( ) 1 2
B. 4 C. 8 D. 16

  9.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直, 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④

  10.设 S 是 ?ABC 的面积, A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2 S sin A < ( BA ? BC ) sin B , 则 A. ?ABC 是钝角三角形 C. ?ABC 可能为钝角三角形,也可能为锐角三角形 ( B. ?ABC 是锐角三角形 D.无法判断 )
uuu uuu r r
答题卡
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
第二卷(非选择题,共计 100 分) 第二卷(非选择题,
小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 填空题:

  11.在平行四边形 ABCD 中,若 AB = (2,
  4) , AC = (1,
  3) ,则 AD = . (用坐标表示)
  12.已知三点 A(1,
  2), B (2, ?
  1), C (2,
  2) , E , F 为线段 BC 的三等分点,则 AE ? AF = .
  13.△ABC 中,A=6
  00,b=
  1,面积 S= 3, 则
uuu r
uuur
uuur
uuu uuur r
a+b+c = sin A + sin B + sin C

  14.已知关于 x 的方程 sin x + cos x = a 与 tan x + cot x = a 的解集都是空集,则实数 a 的取 值范围是.
  15.函数 f ( x) = 2 cos 2 x + sin 2 x 的最小值是 小题, 解答应写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 解答题:
  16. (本小题满分12分) 已知向量 a = (sin θ , -
  2) b = , (
  1, θ ) cos 互相垂直, 其中 θ ∈ (0, (Ⅰ)求 sin θ 和 cos θ 的值; (Ⅱ)若 sin(θ ? ? ) =
→ →
π
2
).
10 π , 0 < ? < ,求 cos ? 的值 10 2

  17. (本小题满分 12 分)已知向量 OA = (3, ?
  4), OB = (6, ?
  3), OC = (5 ? x, ?3 ? y ) . (Ⅰ)若点 A, B, C 能构成三角形,求 x, y 满足的条件;
uuu r
uuu r
uuur
(Ⅱ)若 ?ABC 为等腰直角三角形,且 ∠B 为直角,求 x, y 的值.

  18. (本小题满分 12 分)若将函数 f ( x ) = sin x 的图象按向量 a = ( ?π , ?
  3) 平移后得到函数
r
g ( x) 的图象.
(Ⅰ)求函数 g ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求函数 F ( x) = f ( x) ?
1 的最小值. g ( x)

  19. (本小题满分 12 分)在 △ ABC 中, cos A = (Ⅰ)求角 C 的大小;
4 17 3 , tan B = . 17 5
(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

  20. (本小题满分 13 分)从一箱产品中随机地抽取一件产品,设事件 A=“抽到的一等品” , 事件 B=“抽到的二等品” ,事件 C=“抽到的三等品” ,且已知 P(A)=
  0。
  7,P(B)=
  0.
  1,P (C)=
  0.
  05,求下列事件的概率 (
  1)事件 D=“抽到的是一等品或二等品” (
  2)事件 E=“抽到的是二等品或三等品

  21. (本小题满分 14 分) 5 ?12 ”汶川大地震中,受灾面积大,伤亡惨重,医疗队到达后, “ 都会选择一个合理的位置,使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇,分别位于一 个矩形 ABCD 的两个顶点 A, B 及 CD 的中点 P 处, AB = 10km , BC = 5km ,现要在该 矩形的区域内(含边界) ,且与 A, B 等距离的一点 O 处建造一个医疗站,记 O 点到三个乡 镇的距离之和为 y . (Ⅰ)设 ∠BAO = θ ( rad ) ,将 y 表示为 θ 的函数; (Ⅱ)试利用(Ⅰ)的函数关系式确定医疗站的位置,使三 个乡镇到医疗站的距离之和最短. A O B D P C
参考答案
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的.
  1.D [提示]:Q sin θ = ?
  2.B [提示]:Q ( a ? b)c = 0 .
  3.B
  4.A
4 3 < 0, cos θ = > 0 ,∴ θ 角的终边在第四象限. 5 5
r r r
r
r r r r ? r (a ? a)b ? a ? ?a ? r r ? r r r r r r r r a ?b ? a ? a ? a ? a a?c r = ? r r [提示]:设向量 a 与 c 的夹角为 θ , cos θ = r = r r =
  0. | a |?| c | | a |?| c | | a |?| c |

  5.C
  6.C [提示]: y = 2sin ω x cos ω x = sin 2ω x, (ω >
  0) . ω = 1, f ( x ) = 2sin( x + Q ∴ 在 [ π, ] 上单调递增.
  7.D [提示]:Q 2 ?
  8.B
π
2
) = 2 cos x ,
3π 2
π
3
? bπ =
kπ 2 k 1 1 1 , ∴ b = ? ,(k ∈ Z ) ,又 | b |< ,∴ k = 1, 2 ,b = ? 或 . 2 3 2 2 3 6
uuuu r uuuu r uuuu r
uuuu r uuuu uuuu r r uuuu uuuu r r
[提示]:依题意 P , P2 , P , P4 四点共线, P P3 与 P2 P4 同向,且 P 与 P3 , P2 与 P4 的横坐标都 1 3 1 1 相差一个周期,所以 | P P |= 2 , | P2 P4 |= 2 , P P ? P2 P4 =| P P || P2 P4 |= 4 . 1 3 1 3 1 3
  9.D
  10.A [提示]:Q 2 S sin A < ( BA ? BC ) sin B ,∴ 2a ? bc sin A < b ? ca cos B ,∴ sin A < cos B , ∴ ∠B 为锐角, sin A < cos B = sin( 角三角形,若 ∠A 为锐角,则 A <
uuu uuu r r
π
2
1 2
? B ) ,若 ∠A 为钝角,且满足上式,则 ?ABC 是钝
π
2
? B,∴ A + B <
π
2
,C >
π
2
, ?ABC 是钝角三角形.
小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 填空题:
  11. (-
  1,-
  1) [提示]:Q AB = DC = (2,
  4) ,∴ AD = AC ? DC = (1,
  3) ? (2,
  4) = ( ?1, ?
  1) .
  12.3 [提示]:Q B (2, ?
  1), C (2,
  2) , E , F 为线段 BC 的三等分点,∴ E (2,
  0), F (2,
  1) ,
uuu r
uuur
uuur
uuur uuur
uuu uuu r r uuu r uuur AE = (1, ?
  2), AF = (1, ?
  1) ,∴ AE ? AF = 1 + 2 = 3 .

  13.
2 39 3

  14. ( ?2, ?
  2) U ( 2,
  2) [提示]:Q a = sin x + cos x =
2 sin( x + ) ∈ [? 2, 2] ,又其解集为空集,∴ a ∈ (?∞, 4
π
?
  2) U ( 2, +∞) , tan x > 0 时, = tan x + cot x ≥ 2 tan x ? cot x = 2 , tan x < 0 时, 当 a 当
a = tan x + cot x ≤ ?2 , ∴ a ∈ (?∞, ?2] U [2, +∞) , 又 其 解 集 为 空集, ∴ a ∈ (?2,
  2) , a ∈ (?2, ?
  2) U ( 2,
  2) .

  15.1? 2 小题, 解答应写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 解答题:
  16. (本小题满分 12 分)解: (
  1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b = sin θ ? 2 cos θ = 0 ,即
sin θ = 2 cos θ ,代入 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 得 sin θ = ± 2 5 5 , cos θ = . 5 5

2 5 5 π , cos θ = ± ,又 θ ∈ (0, ) , 5 5 2
∴ sin θ = (
2

0<? <
π
2

0 <θ <
π
2


?
π
2
< θ ?? <
π
2


cos(θ ? ? ) = 1 ? sin 2 (θ ? ? ) =
3 10 10 2 2

∴ cos ? = cos[θ ? (θ ? ? )] = cos θ cos(θ ? ? ) + sin θ sin(θ ? ? ) =
  17. (本小题满分 12 分) [解答]: (Ⅰ) 若点 A, B, C 能构成三角形,则这三点不共线,Q AB = (3,
  1),
uuu r
uuur AC = (2 ? x,1 ? y ), ∴ 3(1 ? y ) ≠ 2 ? x , x, y 满足的条件为 3 y ? x ≠ 1 ∴ (若根据点 A, B, C
能构成三角形,必须 | AB | + | BC |>| AC | ,相应给分) ; (Ⅱ) AB = (3,
  1), BC = ( ? x ? 1, ? y ) , ∠B 为直角, AB ⊥ BC , 3( ? x ?
  1) ? y = 0 , Q 若 则 ∴
uuu r
uuu r
uuu r
uuu r
又 | AB |=| BC | ,∴ ( x +
  1) 2 + y 2 = 10 ,再由 y = 3(? x ?
  1) ,解得 ?
  18. (本小题满分 12 分)
uuu r
uuu r
?x = 0 ? x = ?2 或? . ? y = ?3 ? y = 3
r
[解答]: (Ⅰ)设 P ( x, y ) 是函数 f ( x ) = sin x 的图象上任意一点,按向量 a = ( ?π , ?
  3) 平移
? x' = x ? π ? x = x' + π ? ? ,∴ ? ,即 后在函数 g ( x ) 的图象上的对应点为 P ( x , y ) ,则: ? ' ' ?y = y ?3 ?y = y +3 ? ?
' ' '
y ' + 3 = sin( x + π ) ,所以函数 g ( x) = ? sin x ? 3 ;
(Ⅱ)Q F ( x ) = f ( x) ?
1 1 1 = sin x + = sin x + 3 + ? 3 ,令 t = sin x + g ( x) sin x + 3 sin x + 3
1 1 3 ∈ [2, 4] ,而函数 ? (t ) = t + 在 [2, 4] 上是增函数,所以当 t = 2 时, ? (t ) min = 2 + ,即 t 2 1 当 sin x = ?1 时, F ( x) min = ? . 2

  19. (本小题满分 12 分) [解答]: (Ⅰ) C = π ? ( A + B ) ,cos A = Q
4 17 1 , tan A = ∴ ∴ tan C = ? tan( A + B ) = 17 4
1 3 + 3 ? 4 5 = ?1 .又Q 0 < C < π ,∴ C = π ; 1 3 4 1? × 4 5
(Ⅱ)Q C =
3 ? π? π ,∴ AB 边最大,即 AB = 17 .又Q tan A < tan B,A,B ∈ ?
  0, ? , 4 ? 2? 4 17 17 AB BC ,∴ sin A = .由 = 得: 17 17 sin C sin A
∴ 角 A 最小, BC 边为最小边.Q cos A =
BC = AB
sin A = 2 ,所以,最小边 BC = 2 . sin C

  20. (本小题满分 13 分)由题知 A、B、C 彼此互斥,且 D=A+B,E=B+C (
  1)P(D)=P(A+B)=P(A)+P(B)=
  0.7+
  0.1=
  0.8 (
  2)P(E)=P(B+C)=P(B)+P(C)=
  0.1+
  0.05=
  0.15
  21. (本小题满分 14 分)[解答]: (Ⅰ)如图,延长 PO 交 AB 于点 Q ,由题设可知
1 AB = 5 , AO = BO , PO = 5 ? OQ ,在 2 5 Rt ?ABC 中, AO = , OQ = 5 tan θ , cos θ
BQ = AQ =
D
P
C
O A B
∴ y = AO + BO + PO =
∴y =
10 π ? 5 tan θ + 5, (0 ≤ θ ≤ ) ; cos θ 4 10 2 ? sin θ 2 ? sin θ π , 0 ≤ θ ≤ ,则 (Ⅱ)Q y = ? 5 tan θ + 5 = 5 ? + 5 ,令 u = cos θ cos θ cos θ 4
10 π + 5 ? 5 tan θ ,又Q 0 ≤ θ ≤ , cos θ 4
u cos θ + sin θ = 2,∴ u 2 + 1sin(θ + ? ) = 2, (tan ? = u ) ,∴ sin(θ + ? ) =
∴ u ≥ 3 或 u ≤ ? 3 (舍) u = 3 时, ? = ,当
站的位置 O 满足 θ = 站的距离之和最短.
2 u2 +1

  1,
π
3
,θ =
π
∈ [0, ] ,所以 y 最小,即医疗 6 4
π
π
6
, AO = BO =
10 3 5 3 km, PO = 5 ? km ,可使得三个乡镇到医疗 3 3
 

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