江苏省第二十一届初中数学竞赛初三年级\_第2试\_
初中数学教与学 2007 年 ○ 竞赛园地 ○
江苏省第二十一届初中数学竞赛
初三年级 (第 2 试 )
。
一、 选择题 (共 6 题 , 每题 7 分 , 共 42 分 )
1. 若 x = 2
n +1
5. 方程 3 x + xy + y = 3 x - 2 y 的非负整数解
( x, y ) 的组数为 ( )
2
2
+2 , y = 2
n
n- 1
+2
n- 2
, 其中 n为整
数 , 则 x 与 y 的数量关系为 ( ) ( A ) x = 4 y ( B ) y = 4 x ( C ) x = 12 y
( D ) y = 12 x
2. 如图 , AB 为半圆 O 的直径 , C为半圆上一点 ,
( A ) 0 ( B ) 1 ( C ) 2 ( D ) 3
6. 图示某一岔路口交通环岛的简化模型 . 在某
高峰时段 , 单位时间进出路口 A、 、 的机 B C 动车辆数如图所示 , 图中 x1 , x2 , x3 分别表示 该时段单位时间通过路段 AB , B C, CA 的机 动车辆数 (假设单位时间内 , 在上述路段 中 , 同一路段上驶入与驶出的机动车辆数相 等 ) , 则 x1 , x2 , x3 的大小关系为 ( ) ( A ) x1 > x2 > x3 ( B ) x1 > x3 > x2 ( C ) x2 > x3 > x1 ( D ) x3 > x2 > x1
( A ) S1 < S2 < S 3 ( B ) S 2 < S1 < S3 ( C ) S1 < S3 < S 2 ( D ) S 3 < S2 < S1
2 3 2 根 , 则 x1 - 5 x2 + 10 = ( )
3. 设 x1 , x2 是方程 x + x - 4 = 0 的两个实数
( A ) - 29 ( B ) - 19 ( C ) - 15 ( D ) - 9
4. 如图 , 正方形 AB CD 中 , E 为 CD 的中点 , EF
( A ) ∠1 > ∠2 ( B ) ∠1 < ∠2 ( C ) ∠1 = ∠2
( D ) 无法确定
顶点在对角线上直线运动 .
作 EF ∥ AD, 有 & B EP ≌ & PFQ;
2. 把四边形
PB CQ 转化为特殊图形的和或差 , 即求正方形 PHCF 的面积 , 或求梯形 PB CF 与 & PFQ 的面
积差 , 或求出梯形 PHCQ 与 & PB H 的面积和 ,
或求出矩形 EB CF与 2个 & PEB 的面积差 (如
?34?
且 ∠COB = 60 ° . 设扇形 AOC、 COB 、 & 弓形
Bm C 的面积分别为 S 1 , S 2 , S 3 , 则它们之间的
大小关系是 ( )
二、 填空题 (共 8 题 , 每题 7 分 , 共 56 分 )
7. 若 p 和 q 为质数 , 且 5 p + 3 q = 91, 则 p =
,q = + 4 的最小值为 .
2 2
⊥ A E, 交 B C于点 F, 则 ∠1与 ∠2的大小关
系为 ( )
8. 设 x, y均为实数 , 代数式 5 x + 4 y - 8 xy + 2 x
.
解题思路
1. 构造两个全等三角形 :过 P
图 5 所示 ) , 当 x = 0 或 x = 1 时 , & PCQ 是等 腰三角形 . 由上述诸题 , 可见 , 源于课本 , 挖掘引伸 , 拓展创新是中考命题的基本特点 , 我们应重 视课本中典型例习题的指导和训练 , 发展思 维能力 , 培养创新能力 , 提高解题能力 , 从而 达到良好的教学效果 .
第 4 期 初中数学教与学
9. 某工件的形状如图
三个红色方格中数字最小的那个数 , m 是三 个绿色方格中数字最大的那个数 , 则 M - m 可以有 个不同的值 . 三、 解答题 (共 4 题 , 每题 13 分 , 共 52 分 )
15. 如图 , 直线 OB 是一次函数 y = 2 x 的图象 ,
所示 , 圆弧 B C 的度 数 为
60 °AB ,
= AB , .
2
6cm , 点 B 与点 C 的
距 离 等 于 工件的面积为
∠BAC = 30 ° , 则此
1 - k 4
点 A 的坐标为 ( 0, 2 ) , 在直线 OB 上找点 C, 使得 & ACO 为等腰三角形 , 求点 C 的坐标 .
F, E.
10. 设关于 x的一元二次方程 x + 2 kx +
= 0 有两个实根, 则 k 的取值范围为 .
11. 在平行四边形 AB CD 中 , AM ⊥ B C, AN ⊥
CD, M 、 为垂足 , 若 AB = 13, BM = 5, M C N = 9, 则 M N 的长度为 .
16. 如图 , AB CD 为正方形 , ⊙O 过正方形的顶
点 A 和对角线的交点 P, 分别交 AB 、 于点 AD ( 1 ) 求证 : D E = A F;
3 AE ( 2 ) 若 ⊙O 的半径为 , AB = 2 + 1, 求 2
ED
的值 .
12. 如图 , 用红 , 蓝 , 黄三色将图中区域 A、 、 B
C、 着色 , 要求有公共边界的相邻区域不能 D
17. 在 7 × 的单位正方形的网格中 , 共有 64个 7
格点 , 有许多以这些格点为顶点的正方形 , 这些正方形的面积有多少个不同的值 ?
2 2
涂相同的颜色 . 满足恰好 A 涂蓝色的概率为
.
18. k, a, b为正整数 , k 被 a 、 整除所得的商 b
13. 如图 , 在直角
分别为 m , m + 1
16. 质;
三 角 形 AB C 中 , AB = 3, B C
= 4, ∠AB C =
2 2 2 2 ( 1 ) 若 a, b互质 , 证明 a - b 与 a 、 都互 b
( 2 ) 当 a, b互质时 , 求 k 的值 ;
90 ° 过 B 作 ,
BA 1 ⊥ AC, 过 A1 作 A1 B 1 ⊥ B C, 得阴影直角三角形 A 1 B 1 B; 再过 B 1 作 B 1 A 2 ⊥ AC, 过 A 2 作 A 2 B 2 ⊥ B C, 得阴影直角
( 3 ) 若 a, b的最大公约数为 5, 求 k 的值 .
参考答案
一 、 A
2. B
3. B
4. C
5. C
6. C
1. π 二 、. 17, 2
8. 3
9. 6 cm2 7
10. k ≥
11. 2 - 1 或 k ≤2
三角形 A 2 B 2 B 1 , …, 如此无限下去 . 请猜测 这样得到的所有阴影三角形的面积之和为
.
2 +1 2
180 1 96
12.
13.
14. 8 13 3 41
14. 在一个 3 × 的方格表中填有 1 ～ 9这 9个 3
三 、 . 若此等腰三角形以 OA 为一腰 , 且 A 为 15 设 C1 ( x, 2 x ) , 则得 x2 + ( 2 x - 2 ) 2 = 22 ,
数字 , 现将每行中数字最大的那个格子涂 红色 , 数字最小的那个格子涂绿色 . 设 M 为
顶点 , 则 AO = AC1 =
2.
?35?
初中数学教与学 2007 年
解得 x =
8 , 得 C1 5 8 16 . , 5 5
( 1, 1 ) , ( 2, 1 ) , ( 3, 1 ) , ( 4, 1 ) , ( 5, 1 ) , ( 6, 1 ) ; ( 2, 2 ) , ( 3, 2 ) , ( 4, 2 ) , ( 5, 2 ) ; ( 3, 3 ) , ( 4, 3 ) .
若此等腰三角形以 OA 为一腰 ,且以 O 为顶点 ,则
OC2 = OC3 = OA =
2.
其 中 ( 0, 0 ) 不 合 题意 , 舍去 . 此 外 , 52 = 42 +
2 3 , 即 ( a, b) 取 ( 5, 0 )
设 C2 ( x ′ x ′, 则得 ,2 )
2 2 )2 x′ + ( 2x′ = 2 ,
解得 x ′= 得 C2
2 5 4 5, 5
4 . 5
5.
与 ( 4, 3 ) 给 出 相 同 的 面积 . 检验可知 , 其他 ( a, b) 值所对应的正方形的面 积两两不同 , 所以 , 共有 18 个不同的面积 .
4 5, 5
2 2 2
18. ( 1 ) 设 s为 a - b 与 a 的最大公约数 .
又由点 C3 与点 C2 关于原点对称 , 得
C3
2 5
5.
2
则 a2 - b2 = su, a2 = sv, u, v为正整数 . 于是 a2 - ( a2 - b2 ) = b2 = s ( v - u ) , 可见 s是
b 的约数 .
若等腰三角形以 OA 为底边 , 则 C4 的纵坐标为
1, 从而其横坐标为 1 , 得 C4 2 4 5 1 ,1 . 2
因为 a, b互质 , 所以 a2 , b2 互质 , 可见 s =
1. 即 a2 - b2 与 a2 互质 . 同理可证 a2 - b2 与 b2 互质 .
( 2 ) k = m a2 = (m + 116 ) b2 ,
所以 , 满足题意的点 C 有 4 个 , 坐标分别为 :
8 16 , , 5 5
-
2 5 4 5
5,
5 , 1 ,1 . 2
2 5
5, -
5 ,
所以 m ( a2 - b2 ) = 116 b2 , a > b. 又 a, b, m 都 是正整 数 , 所 以 ( a2 - b2 ) 整 除
116 b .
2
16. ( 1 ) 连 PE、 、 因为 ∠EA F = 90 ° PF EF. ,所
以 EF 为 ⊙O 的直径 , 于是 ∠FPE = 90 ° . 又 ∠A PD = 90 °∴∠EPD = ∠A PF. , 显然 PD = PA, ∠PA F = ∠PD E = 45 ° . 于是 , & PD E ≌ & PA F, 故 D E = A F. 又 A E2 + A F2 = EF2 = 3, 即 (A E + A F ) 2 2A E ?A F =
3.
( 2 ) ∵D E = A F, ∴A E + A F = AD = 2 +
1.
因 a2 - b2 与 b2 互质 , 所以 a2 - b2 整除 116, 即 ( a + b) ( a - b) 整除 1
16. 而 116 = 22 × , a + b与 a - b具有相同的奇 29 偶性 , 且 a + b > a - b >
0. 所以 , 解得
a + b = 29, a - b = 1; a = 15, b = 14;
2 2
或
a + b = 2 ×29, a - b =
2.
或
a = 30, b =
28.
故 A E ?A F =
2.
2
因为 a, b互质 , 所以 a = 15, b =
14. 所以 m =
116 b
2
于是 , A E, A F是方
= 0 的两个根 .
程 x - ( 2 +
1) x + 2
a - b
= 2 ×7 .
4
2
故得 k = m a2 = 24 ×72 ×152 = 1764
00.
( 3 ) 若 a, b的最大公约数为 5, 设 a = 5 a1 , b =
解之得 , A E = 2, A F = 1; 或 A E = 1, A F =
2. 所以 ,
AE 2 = 2或 . ED 2
5 b1 , 则 a1 , b1 互质 .
同 ( 2 ) 有 m ( a2 - b2 ) = 116 b2 , 即 m ( 25 a2 - 25 b2 ) = 116 ( 25 b2 ) , 1 1 1 所以 m ( a2 - b2 ) = 116 b2 , 且 a1 , b1 互质 . 1 1 1 根据 ( 2 ) 有 m = 24 ×72 , a1 = 15, b1 = 14, 所以 k = m a2 = m ( 5 a1 ) 2 = 25m a2 1
2 4 2 2 = 5 ×( 2 ×7 ) ×( 3 ×5 )
17. 由于这些正方形的顶点都是方格网中的格
点 , 如图中的阴影正方形的面积为 a2 + b
2. 其中 0 ≤ a + b ≤
7. 不失一般性 , 设 a ≥ b, 可以枚举所有 可能的 ( a, b) 值 :
( 6, 0 ) , ( 7, 0 ) ; ( 0, 0 ) , ( 1, 0 ) , ( 2, 0 ) , ( 3, 0 ) , ( 4, 0 ) , ( 5, 0 ) ,
= 44100
00.
?36?