江苏省二十一届初中数学竞赛初三年级第二试试题



初三数学竞赛辅导专用材料
江苏省第二十一届初中数学竞赛
主办单位:江苏省教育学会中学数学专业委员会 江苏教育出版社《时代数学学习》编辑部 初三年级 (第 2 试) (2006 年 12 月 24 日 上午
  8:30?
  11:
  00) 选择题(共 6 题,每题 7 分,共 42 分)以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英 一、选择题 文字母填在题后的圆括号内.
  1.若 x = 2 n +1 + 2 n , y = 2 n ?1 + 2 n ? 2 ,其中 n 为整数,则 x 与 y 的数量关系为( (A) x = 4 y (B) y = 4 x (C) x = 12 y )
(D ) y = 12 x

  2.如图,AB 为半圆 O 的直径,C 为半圆上一点,且∠COA=
  60°.设扇形 AOC、△COB、弓形 B m C 的 面积分别为 S1 , S 2 , S 3 ,则它们之间的大小关系是( ) (B) S 2 < S1 < S 3 (C) S1 < S 3 < S 2 (D ) S 3 < S 2 < S1 (A) S1 < S 2 < S 3
  3.设 x1 , x 2 是方程 x 2 + x ? 4 = 0 的两个实数根,则 x1 3 ? 5 x 2 2 + 10 =( )
(A)-29 (B) -19 (C) -15 (D) -9
  4.如图,正方形 ABCD 中,E 为 CD 的中点,EF⊥AE,交 BC 于点 F,则∠1 与∠2 的大小关系为( (A) ∠
  1>∠2 (B) ∠
  1<∠2 (C) ∠1=∠2 (D) 无法确定
  5.方程 3x 2 + xy + y 2 = 3 x ? 2 y 的非负整数解( x , y )的组数为( )

(A)0 (B)1 (C) 2 (D) 3
  6.图示某三岔路口交通环岛的简化模型.在某高峰时段,单位时间进出路口 A、B、C 的机动车辆数如图 ⌒ ⌒ ⌒ 所示,图中 x1 , x 2 , x 3 分别表示该时段单位时间通过路段AB,BC,CA的机动车辆数(假设单位时间内, 在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的机动车辆数相等) ,则 x1 , x 2 , x 3 的大小关系为( ) (A) x1 > x 2 > x 3 (B) x1 > x 3 > x 2 (C) x 2 > x 3 > x1 (D) x 3 > x 2 > x1
二、填空题(共 8 题,每题 7 分,共 56 分) 填空题
  7.若 p 和 q 为质数,且 5 p + 3q = 91 ,则 p =
,q=
. .

  8.设 x 、 y 均为实数,代数式 5 x 2 + 4 y 2 ? 8 xy + 2 x + 4 的最小值为

  9.某工件的形状如图所示,圆弧BC的度数为
  60°,AB=6cm,点 B 与点 C 的距离等于 AB,∠BAC=
  30°,则此 工件的面积为 .
1 4

  10.设关于 x 的一元二次方程 x 2 + 2kx + ? k = 0 有两个实数根,则 k 的取值范围为


  11.在平行四边形 ABCD 中,AM⊥BC,AN⊥CD,M、N 为垂足,若 AB=
  13,BM=
  5,MC=
  9,则 MN 的 长度为 .
1
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  12.如图,用红,蓝,黄三色将图中区域 A、B、C、D 着色,要求有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜 色,满足恰好 A 涂蓝色的概率为 .
  13.如图,在直角三角形 ABC 中,AB=
  3,BC=
  4,∠ABC=
  90°,过 B 作 BA
  1⊥AC,过 A1 作 A1B
  1⊥BC,得
阴影直角三角形 A1B1B;再过 B1 作 B1A
  2⊥AC,过 A2 作 A2B
  2⊥BC,得阴影直角三角形 A2B2B
  1;…,如此 无限下去,请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为 .
  14.在一个
  3×3 的方格表中填有
  1~9 这 9 个数字,现将每行中数字最大的那个格子涂红色,数字最小的那个格 则 子涂绿色. M 为三个红色方格中数字最小的那个数,m 是三个绿色方格中数字最大的那个数, M ? m 可 设 以有 个不同的值.
解答题(共 4 题,每题 13 分,共 52 分) 三、解答题
  15.如图,直线 OB 是一次函数 y = 2 x 的图象,点 A 的坐标为(
  0,
  2) ,在直线 OB 上找点 C,使得△ACO 为等腰三角形,求点 C 的坐标.

  16.如图,ABCD 为正方形,⊙O 过正方形的顶点 A 和对角线的交点 P,分别交 AB、AD 于点 F、E. (
  1) 求证:DE=AF. (
  2)若⊙O 的半径为
3 AE ,AB= 2 + 1 ,求 的值. 2 ED

  17.在
  7×7 的单位正方形的网格中,共有 64 个格点,有许多以这些格点为顶点的正方形.这些正方形的面积有
多少不同的值?

  18. k , a , b 为正整数, k 被 a 2 、 b 2 整除所得的商分别为 m , m + 116 . (
  1)若 a , b 互质,证明 a 2 ? b 2 与 a 2 、 b 2 都互质; (
  2)当 a , b 互质时,求 k 的值; (
  3)若 a , b 的最大公约数为
  5,求 k 的值.
2
 

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