西安建筑科技大学线性代数期末模拟试卷3



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西安建筑科技大学 线性代数模拟试卷
一.填空题:
?4 0 2? ? ? (
  1) 设 A 为
  4×3 矩阵,且 r ( A) = 2 ,有 B = 0 2 0 ,则 r ( AB ) ? r ( A) = . ? ? ?1 0 3 ? ? ?

  2) 设 A 为 4 阶方阵,当 r ( A) = 3 时,则 r ( A* ) =,又当 r ( A) = 2 时,则
r ( A* ) =。
?1 ?1 0 ? ? ? 满足 AB = O , k = . (
  3) 设 A 为 3 阶方阵, r ( A) = 1 , B = 2 1 1 , 且 又 则 ? ? ?3 0 k ? ? ?

  4) 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为
  3,已知 ξ1 , ξ 2 , ξ 3 是它的三个解向
?2? ?1 ? ?3? ? ? ? ? , ξ + ξ = ?2? ,则该方程组的通解为. 量,且 ξ1 = 2 3 ?3? ?4? ? ? ? ? ?5? ?4?

  5)
? a1b1 a1b2 ?a b a b 2 2 A=? 2 1 ? M M ? ? anb1 anb2
L a1bn ? L a2bn ? ? ,且 a ≠ 0 (i = 1,2, L , n) , b j ≠ 0 ( j = 1,2, L , n) 。 i O M ? ? L anbn ?
0] , η2 = [3, 0, 1] 组成的齐次线性方程
T T
则 Ax = 0 的基础解系中含有个向量. (
  6) 写出一个基础解系由 η1 = [ ?2, 1, 组. 二. 选择题:
?1 ?0 (
  1)设 A= ? ?0 ? ?1
1 0 0? ? a1 ? ?a ? ? 1 1 0? 2 , b = ? ? , Ax = b 有解的充分必要条件为( ? a3 ? ? 0 1 1 ? ? ? 0 0 1? ? a4 ?
(B) a1 = a2 = a3 = a4 = 1

(A) a1 = a2 = a3 = a4
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(C) a1 + a2 + a3 + a4 = 0 (D) a1 ? a2 + a3 ? a4 = 0 )正确

  2)非齐次线性方程组 Ax = b ,对应的导出组方程组 Ax = 0 ,则( (A) 若 Ax = 0 仅有零解,则 Ax = b 有唯一解 (B) 若 Ax = 0 有非零解,则 Ax = b 有无穷多组解 (C) 若 Ax = b 有无穷多组解,则 Ax = 0 仅有零解 (D) 若 Ax = b 有无穷多组解,则 Ax = 0 有非零解

  3)设 η1 与 η 2 为非齐次线性方程组 Ax = b 的两个不同的解,ξ1 与 ξ 2 为对应齐次线性方程 组 Ax = 0 的基础解系, t1 , t 2 为任意常数,则 Ax = b 的通解为( (A) )
η1 ? η 2
2 η ? η2 (C) 1 + t1ξ1 + t2 (η1 + η2 ) 2
+ t1ξ1 + t2 (ξ1 + ξ 2 )
(B)
+ t1ξ1 + t2 (ξ 2 ? ξ1 ) 2 η + η2 (D) 1 + t1ξ1 + t2 (η1 ? η2 ) 2

η1 + η2

  4)已知 A 为 m × n 矩阵,且 r ( A) = r ,则 A 中必成立( (A) (B) (C) (D)
没有等于零的 r ? 1 阶子式,至少有一个 r 阶子式不为零 有等于零的 r 阶子式,没有不等于零的 r + 1 阶子式 有不等于零的 r 阶子式,所有 r + 1 阶子式全为零 任何 r 阶子式不等于零,任何 r + 1 阶子式都等于零
? 1 2 3? ? ? (
  5)已知 Q = 2 4 t , P ≠ O 且 PQ = O ,则( ) ? ? ?3 6 9? ? ?
(A) t = 6 , r ( P ) = 1 (C) t ≠ 6 , r ( P ) = 1 ( 6 ) 设 a1 = [1,
T
(B) t = 6 , r ( P ) = 2 (D) t ≠ 6 , r ( P ) = 2
T
0, 1] , a2 = [ 0, 1, 1] 为 Ax = 0 的 两 个 解 向 量 , 其 中
? 1 1 ?1? A = ? ?1 a 1 ? ,则( ? ? ?1 1 b? ? ?
(A) a = ?1 , b = ?1 (C) a = 1 , b = 1 三. 求秩:
) (B) a = 1 , b = ?1 (D) a = ?1 , b = 1
?2 3 4 4? ? 1 ?1 2 ?3 ? ? 的秩. (
  1) 求 A = ? ?3 2 6 1? ? ? ? ?1 0 ?2 1 ?
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?1 ? ?1 (
  2) 设矩阵 A = ? ?k ? ? ?2

  1) r ( A) = 1 ;
?2 3k ? 2 k ?3 ? ? ,当 k 为何值时,可使 ?2 3 ? ? 4 k ?6 ?

  2) r ( A) = 2 ;
  3) r ( A) = 3 .
?a 1 L 1 ? ?1 a L 1 ? ? ,求 A 的秩 r ( A) . (
  3) 已知 n 阶方阵 A = ? ?M M O M ? ? ? ?1 1 L a ?
四. 证明: (
  1) 设 A 为 n 阶方阵,且 A2 + A = O ,试证 r ( A) + r ( A + I ) = n . (
  2) 设 A 为 m × n 矩阵,对任何 n 维向量 x ,有 Ax = 0 ,试证 A = O . (
  3) 设 A 为 n 阶方阵, f ( x ) = a0 + a1 x + L + an x n ,f (
  0) = 0 , 又 试证 r ( f ( A)) ≤ r ( A) . (
  4) 已知 r ( A) = n ? 1 ,试证存在常数 k 使得 ( A* ) 2 = kA* . (
  5) 设 A 为非零 n 阶方阵,证明存在一个 n 阶方阵 B ≠ O ,使得 AB = O ? A = 0 . 五.齐次方程求解:
? (3 ? λ ) x1 ? x2 + x3 = 0 ? (
  1) 设线性方程组 ? x1 + (1 ? λ ) x2 + x3 = 0 问 λ 为何值时,此齐次方程组有非零 ??3x + 3x ? (1 + λ ) x = 0 2 3 ? 1
解?并在有非零解时,求其通解.
? x1 + 2 x2 ? 2 x3 = 0 ? (
  2) 已知 3 阶非零矩阵 B 的每一列都是方程组 ?2 x1 ? x2 + λ x3 = 0 的解. ? 3x + x ? x = 0 ? 1 2 3
① 求 λ 的值;②证明 B = 0 . (
  3) 设线性方程组 (Ⅰ) ?
? x1 + x2 = 0 , ? x2 ? x4 = 0
(Ⅱ) ?
? x1 ? x2 + x3 = 0 ? x2 ? x3 + x4 = 0
①求方程组(Ⅰ)(Ⅱ)的基础解系; , ②求方程组(Ⅰ)(Ⅱ)的公共解. , 六. 非齐次方程求解:
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? (1 + λ ) x1 + x2 + x3 = 0 ? (
  1) 设非齐次线性方程组 ? x1 + (1 + λ ) x2 + x3 = 3 ,问 λ 取何值时,方程组①有唯一 ? x + x + (1 + λ ) x = λ 3 ? 1 2
解;②无解;③有无穷多组解,并在有无穷多组解时求出通解.
x1 + x2 + x3 + x4 = 1 ? ? x2 ? x3 + 2 x4 = 1 ? (
  2) 设非齐次线性方程组 ? ,问 a 、 b 取何值时,方 ?2 x1 + 3x2 + (a +
  2) x3 + 4 x4 = b + 3 ? 3x1 + 5 x2 + x3 + (a +
  8) x4 = 5 ?
程组有唯一解,无解,无穷多组解,并在有解时求出其解.
?1? ?2 1 1 2? ?0? ? ? ? 0 1 3 1 ? , b = ?1 ? ,ξ = ? ?1? ,如果 ξ 是方程组 Ax = b 的一个解,试 (
  3) 设 A = ? ? ? ? ?1? ?1 a c 1 ? ?0? ? ? ? ? ? ? ? ?1? 求 Ax = b 的通解.
(
  4) 已知非齐次线性方程组
? x1 + ax2 + x3 + x4 = 1 ? x1 + x2 + x3 + x4 = 1 ? ? (Ⅰ)? 2 x1 + x2 + bx3 + x = 4 与(Ⅱ)? ? x2 + 2 x3 ? x4 = 2 同解,试确定 a 、b 、 ?2 x + 2 x + 3x + cx = 1 ? x + x = ?1 2 3 4 3 4 ? 1 ?
c 的值.
七. 解的结构: 已知非齐次线性方程组 Ax = b , r ( A) = 1 ,且如果方程组的三个解向量为 η1 、η 2 、η3 , 满足 η1 + η2 = [1 2 通解.
3] , η2 + η3 = [ 0 ?1 1] , η3 + η1 = [1 0 ?1] ,求 Ax = b 的
T T T
自测题三答案及提示
一.填空题:
?3? ?2? ?4? ?3? (
  1) (
  2) (
  3)
  1;(
  4)x = ? ? t + ? ? ,t ∈ R ; 0; 1,0; (
  5)n ? 1 ; (
  6)x1 + 2 x2 ? 3 x3 = 0 ?5 ? ?4? ? ? ? ? ?6 ? ?5 ?
二. 选择题: (
  1)D; (
  2)D; (
  3)B; (
  4)C; (
  5)C; (
  6)A 三. 求秩: (
  1) r ( A) = 2 ; (
  2) k = 1, r ( A) = 1; k = ?2, r ( A) = 2; k ≠ 1 且 k ≠ ?2, r ( A) = 3 ;
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  3) a ≠ 1 且 a ≠ 1 ? n , r ( A) = n; a = 1, r ( A) = 1; a = 1 ? n, r ( A) = n ? 1 . 四. 证明: (
  1)提示: n = r ( I ) ≤ r ( ? A) + r ( A + I ) = r ( A) + r ( A + I ) ≤ n . (
  2)提示:取 x = ei , i = 1, 2,L , n . (
  3)提示: f ( A) = A( a1 I + a2 A + L + an An ?1 ) = AB
r ( AB ) ≤ min( r ( A), r ( B )) ≤ r ( A) .
? a1 ? ?a ? 2 * * (
  4) 提示: r ( A) = n ? 1 ,则 r ( A ) =
  1,取 A = ? ? [b1 b2 L bn ] ,则 ?M? ? ? ? an ?
( A* ) 2 = (∑ ai bi ) A* ,令 k = ∑ ai bi 即可.
i =1 i =1 n n
(
  5)提示: “必要性” Ax = 0 有非零解,则 A = 0 ; “充分性” A = 0 ,则 Ax = 0 有非零解 α ,取 B = [α ,0,L,0] ,即可. 五.齐次方程求解:
?1? ?1 ? ? ?1? ? 1 ? t , t ∈ R ) λ = 2, x = ?1 ? t + ? 0 ? t , t , t ∈ R ). (
  1) λ = ?1, x = ; ? ? ( ? ?1 ? ? 2 (1 2 ? ?3? ?0 ? ?1? ? ? ? ? ? ?

  2)① λ = 1 ;②反证法. (
  3)① (Ⅰ) ξ1 = [ 0 :
0 1 0] , ξ 2 = [ ?1 1 0 1]
T T
T
(Ⅱ) η1 = [ 0 1 1 0 ] , η2 = [ ?1 ?1 0 1] : ② [ ?1, 1,
T
2, 1] t , t ∈ R 。提示:将(Ⅰ)的通解代入(Ⅱ).
六. 非齐次方程求解: (
  1) λ ≠ 0 且 λ ≠ ?3 时,唯一解; λ = 0 时,无解;
?1? ? ?1? λ = ?3 时, x = ?1? t + ? ?2? , t ∈ R . ?? ? ? ?1? ? 0 ? ?? ? ?

  2) a = ?1 , b ≠ 0 时,无解;
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? ?2 ? ?1? ?0? ?1? ? ?2 ? ? ? ? ? t1 + ? ? t2 + ?1 ? , t1 , t2 ∈ R ; a = ?1 , b = 0 时, x = ?1? ?0? ?0? ? ? ? ? ? ? ?0? ?1? ?0? 2b a +1+ b b a ≠ ?1 时,唯一解, x1 = ? , x2 = , x3 = , x4 = 0 . a +1 a +1 a +1 ?1? ? ?1? ?1? ? ?3? ? ?2 ? ? ?1? 1 (
  3) a = c = 时, x = ? ? t1 + ? ? t2 + ? ? , t1 , t2 ∈ R ; ?1? ?0? ?1? 2 ? ? ? ? ? ? ?0? ?2? ? ?1? ? ?2 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ?1? 1 a = c ≠ 时, x = ? ? t + ? ? , t ∈ R . ? ?1? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? ?1? (
  4) a = 1 , b = 4 , c = 3 。提示:将(Ⅱ)的通解代入(Ⅰ).
七.解的结构:
? ? ? 0 ? ?1 ? ?0 ? ? ? ?3? t + ?2? t + ?? 1 ? , t , t ∈ R . x= ? ? 1 ? ? 2 ? 2? 1 2 ?2? ?4? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?
 

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